Идея метода гармонической линеаризации принадлежит Н.М. Крылову и Н.Н. Боголюбову и базируется на замене нелинейного элемента системы линейным звеном, параметры которого определяются при гармоническом входном воздействии из условия равенства амплитуд первых гармоник на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного звена. Данный метод может быть использован в том случае, когда линейная часть системы является низкочастотным фильтром, т.е. отфильтровывает все возникающие на выходе нелинейного элемента гармонические составляющие, кроме первой гармоники.

Коэффициенты гармонической линеаризации и эквивалентные комплексные коэффициенты передачи нелинейных элементов . В нелинейной системе (рис. 2.1) параметры линейной части и нелинейного элемента выбирают таким образом, чтобы существовали симметричные периодические колебания с частотой w.

В основе метода гармонической линеаризации нелинейностей (рис. 2.10), описываемых уравнением

y н = F(x), (2.17)

лежит предположение, что на вход нелинейного элемента подается гармоническое воздействие с частотой w и амплитудой a , т.е.

x = a sin y, где y = wt, (2.18)

а из всего спектра выходного сигнала выделяется только первая гармоника

y н 1 = a н 1 sin(y + y н 1), (2.19)

где a н 1 - амплитуда а y н 1 - фазовый сдвиг;

при этом высшие гармоники отбрасываются и устанавливается связь между первой гармоникой выходного сигнала и входным гармоническим воздействием нелинейного элемента.

Рис. 2.10. Характеристики нелинейного элемента

В случае нечувствительности нелинейной системы к высшим гармоникам нелинейный элемент может быть в первом приближении заменен некоторым элементом с эквивалентным коэффициентом передачи, который определяет первую гармонику периодических колебаний на выходе в зависимости от частоты и амплитуды синусоидальных колебаний на входе.

Для нелинейных элементов с характеристикой (2.17) в результате разложения периодической функции F(x) в ряд Фурье при синусоидальных колебаниях на входе (2.18) получим выражение для первой гармоники сигнала на выходе

y н 1 = b 1F siny + a 1F cosy, (2.20)

где b 1F , a 1F - коэффициенты разложения в ряд Фурье, определяющие амплитуды соответственно синфазной и квадратурной составляющих первой гармоники, которые определяются по формулам:

px = a w cos y, где p = d/dt,

то связь между первой гармоникой периодических колебаний на выходе нелинейного элемента и синусоидальными колебаниями на его входе можно записать в виде

y н 1 = x, (2.21)

где q = b 1F /a , q¢ = a 1F /a .

Последнее уравнение называется уравнением гармонической линеаризации , а коэффициенты q и q¢ - коэффициентами гармонической линеаризации .

Таким образом, нелинейный элемент при воздействии гармонического сигнала с точностью до высших гармоник описывается уравнением (2.21), которое является линейным. Это уравнение нелинейного элемента отличается от уравнения линейного звена тем, что его коэффициенты q и q¢ изменяются при изменении амплитуды a и частоты w колебаний на входе. Именно в этом заключается принципиальное отличие гармонической линеаризации от обычной, коэффициенты которой не зависят от входного сигнала, а определяются только видом характеристики нелинейного элемента.

Для различных видов нелинейных характеристик коэффициенты гармонической линеаризации сведены в таблицу . В общем случае коэффициенты гармонической линеаризации q(a , w) и q¢(a , w) зависят от амплитуды a и частоты w колебаний на входе нелинейного элемента. Однако, для статических нелинейностей эти коэффициенты q(a ) и q¢(a ) являются функцией только амплитуды a входного гармонического сигнала, а для статических однозначных нелинейностей коэффициент q¢(a ) = 0.

Подвергнув уравнение (2.21) преобразованию по Лапласу при нулевых начальных условиях с последующей заменой оператора s на jw (s = jw), получим эквивалентный комплексный коэффициент передачи нелинейного элемента

W Э (jw, a ) = q + jq¢ = A Э (w, a ) e j y э (w , a ) , (2.22)

где модуль и аргумент эквивалентного комплексного коэффициента передачи связаны с коэффициентами гармонической линеаризации выражениями

A Э (w, a ) = mod W Э (jw, a ) =

y Э (w, a ) = arg W Э (jw, A) = arctg.

Эквивалентный комплексный коэффициент передачи нелинейного элемента позволяет определить амплитуду и фазовый сдвиг первой гармоники (2.19) на выходе нелинейного элемента при гармоническом воздействии (2.18) на его входе, т.е.

a н 1 = a ´A Э (w, a ); y н 1 = y Э (w, a ).

Исследование симметричных периодических режимов в нелинейных системах. При исследовании нелинейных систем на основе метода гармонической линеаризации в первую очередь решают вопрос о существовании и устойчивости периодических режимов. Если периодический режим устойчив, то в системе существуют автоколебания с частотой w 0 и амплитудой a 0 .

Рассмотрим нелинейную систему (рис. 2.5), включающую в себя линейную часть с передаточной функцией

и нелинейный элемент с эквивалентным комплексным коэффициентом передачи

W Э (jw, a ) = q(w, a ) + jq¢(w, a ) = A Э (w, a ) e j y э (w , a ) . (2.24)

Принимая во внимание выражение (2.21), можно записать уравнение нелинейной системы

{A(p) + B(p)´}x = 0. (2.25)

Если в замкнутой нелинейной системе возникают автоколебания

x = a 0 sin w 0 t

с постоянной амплитудой и частотой, то коэффициенты гармонической линеаризации оказываются постоянными, а вся система стационарной. Для оценки возможности возникновения автоколебаний в нелинейной системе методом гармонической линеаризации необходимо найти условия границы устойчивости, как это делалась при анализе устойчивости линейных систем. Периодическое решение существует, если при a = a 0 и w = w 0 характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы

A(p) + B(p)´ = 0 (2.26)

имеет пару мнимых корней l i = jw 0 и l i +1 = -jw 0 . Устойчивость решения необходимо оценить дополнительно.

В зависимости от методов решения характеристического уравнения различают методы исследования нелинейных систем.

Аналитический метод . Для оценки возможности возникновения в нелинейной системе автоколебаний в гармонически линеаризованный характеристический полином системы вместо p подставляют jw

D(jw, a ) = A(jw) + B(jw)´. (2.27)

В результате получают уравнение D(jw, a ) = 0, коэффициенты которого зависят от амплитуды и частоты предполагаемого автоколебательного режима. Выделив вещественную и мнимую части

Re D(jw, a ) = X(w, a );

Im D(jw, a ) = Y(w, a ),

получим уравнение

X(w, a ) + jY(w, a ) = 0. (2.28)

Если при действительных значениях a 0 и w 0 выражение (2.28) удовлетворяется, то в системе возможен автоколебательный режим, параметры которого рассчитываются по следующей системе уравнений:

Из выражений (2.29) можно найти зависимость амплитуды и частоты автоколебаний от параметров системы, например, от коэффициента передачи k линейной части системы. Для этого необходимо в уравнениях (2.29) коэффициент передачи k считать переменной величиной, т.е. эти уравнения записать в виде:

По графикам a 0 = f(k), w 0 = f(k) можно выбрать коэффициент передачи k, при котором амплитуда и частота возможных автоколебаний имеет допустимые значения или вообще отсутствует.

Частотный метод . В соответствии с критерием устойчивости Найквиста незатухающие колебания в линейной системе возникают в том случае, когда амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы проходит через точку с координатами [-1, j0]. Данное условие является также условием существования автоколебаний в гармонически линеаризованный нелинейной системе, т.е.

W н (jw, a ) = -1. (2.31)

Так как линейная и нелинейная части системы соединены последовательно, то частотная характеристика разомкнутой нелинейной системы имеет вид

W н (jw, a ) = W лч (jw)´W Э (jw, a ). (2.32)

Тогда в случае статической характеристики нелинейного элемента условие (2.31) принимает вид

W лч (jw) = - . (2.33)

Решение уравнения (2.33) относительно частоты и амплитуды автоколебаний можно получить графически как точку пересечения годографа частотной характеристики линейной части системы W лч (jw) и годографа обратной характеристики нелинейной части , взятой с обратным знаком (рис. 2.11). Если эти годографы не пересекаются, то режим автоколебаний в исследуемой системе не существует.

Рис. 2.11. Годографы линейной и нелинейной частей системы

Для устойчивости автоколебательного режима с частотой w 0 и амплитудой a 0 требуется, чтобы точка на годографе нелинейной части - , соответствующая увеличенной амплитуде a 0 +Da по сравнению со значением в точке пересечения годографов, не охватывалась годографом частотной характеристики линейной части системы и охватывалась точка, соответствующая уменьшенной амплитуде a 0 -Da .

На рис. 2.11 дан пример расположения годографов для случая, когда в нелинейной системе существуют устойчивые автоколебания, так как a 3 < a 0 < a 4 .

Исследование по логарифмическим частотным характеристикам .

При исследовании нелинейных систем по логарифмическим частотным характеристикам условие (2.31) переписывают отдельно для модуля и аргумента эквивалентного комплексного коэффициента передачи разомкнутой нелинейной системы

mod W лч (jw)W э (jw, a ) = 1;

arg W лч (jw)W э (jw, a ) = - (2k+1)p, при k=0, 1, 2, ...

с последующим переходом к логарифмическим амплитудной и фазовой характеристикам

L лч (w) + L э (w, a ) = 0; (2.34)

y лч (w) + y э (w, a ) = - (2k+1)p, при k=0, 1, 2, ... (2.35)

Условия (2.34) и (2.35) позволяют определить амплитуду a 0 и частоту w 0 периодического решения уравнения (2.25) по логарифмическим характеристикам линейной части системы L лч (w), y лч (w) и нелинейного элемента L э (w, a ), y э (w, a ).

Автоколебания с частотой w 0 и амплитудой a 0 будут существовать в нелинейной системе, если периодическое решение уравнения (2.25) устойчиво. Приближенный метод исследования устойчивости периодического решения заключается в том, что исследуется поведение системы при частоте w = w 0 и значениях амплитуды a = a 0 + Da и a = a 0 - Da , где Da > 0 - малое приращение амплитуды. При исследовании устойчивости периодического решения при a 0 + Da и a 0 - Da по логарифмическим характеристикам пользуются критерием устойчивости Найквиста.

В нелинейных системах с однозначными статическими характеристиками нелинейного элемента коэффициент гармонической линеаризации q¢(a ) равен нулю, а следовательно, равен нулю и фазовый сдвиг y э (a ), вносимый элементом. В этом случае периодическое решение уравнения системы

x = 0 (2.36)

существует, если выполняются условия:

L лч (w) = - L э (a ); (2.37)

y лч (w) = - (2k+1)p, при k=0, 1, 2, ... (2.38)

Уравнение (2.38) позволяет определить частоту w = w 0 периодического решения, а уравнение (2.37) - его амплитуду a = a 0 .

При сравнительно простой линейной части решения этих уравнений могут быть получены аналитически. Однако в большинстве случаев их целесообразно решать графически (рис. 2.12).

При исследовании устойчивости периодического решения уравнения (2.36), т.е. при определении существования автоколебаний в нелинейной системе с однозначной нелинейной статической характеристикой пользуются критерием Найквиста : периодическое решение с частотой w = w 0 и амплитудой a = a 0 устойчиво, если при изменении частоты от нуля до бесконечности и положительном приращении амплитуды Da > 0 разность между числом положительных (сверху вниз) и отрицательных (снизу вверх) переходов фазовой характеристики линейной части системы y лч (w) через линию -p равна нулю в диапазоне частот, где L лч (w)³-L э (w 0 ,a 0 +Da ), и не равна нулю в диапазоне частот, где L лч (w)³-L э (w 0 ,a 0 -Da ).

На рис. 2.12 показан пример определения периодических решений в нелинейной системе с ограничением. В такой системе имеются три периодических решения с частотами w 01 , w 02 и w 03 , определяемыми в точках пересечения фазовой характеристики y лч (w) с линией -180 0 . Амплитуды периодического решения a 01 , a 02 и a 03 определяются из условия (2.37) по логарифмическим амплитудным характеристикам нелинейного элемента -L э (w 01 , a ), -L э (w 02 , a ) и -L э (w 03 , a ).

Рис. 2.12. Логарифмические амплитудные и фазовая характеристики

Из трех решений, определенных на рис. 2.12, устойчивы два. Решение с частотой w = w 01 и амплитудой a = a 01 устойчиво, так как в диапазоне частот 1, где L лч (w)³-L э (w 01 ,a 01 +Da ), фазовая характеристика y лч (w) не пересекает линию -180 0 , а в диапазоне частот 2, где L лч (w)³-L э (w 01 ,a 01 -Da ), фазовая характеристика y лч (w) один раз пересекает линию -180 0 . Решение с частотой w = w 02 и амплитудой a = a 02 неустойчиво, так как в диапазоне частот, где L лч (w)³-L э (w 02 ,a 02 +Da ), фазовая характеристика y лч (w) один раз пересекает линию -180 0 . Высокочастотное периодическое решение с частотой w = w 03 и амплитудой a = a 03 устойчиво, так как в диапазоне частот, где L лч (w)³-L э (w 03 ,a 03 +Da ), имеется один положительный и один отрицательный переход фазовой характеристики y лч (w) через линию -180 0 , а в диапазоне частот, где L лч (w)³-L э (w 03 ,a 03 -Da ), имеются два положительных и один отрицательный переход фазовой характеристики y лч (w) через линию -180 0 .

В рассмотренной системе при малых по величине возмущениях установятся высокочастотные автоколебания с частотой w 03 и амплитудой a 03 , а при больших по величине возмущениях - низкочастотные автоколебания с частотой w 01 и амплитудой a 01 .

Пример. Исследовать автоколебательные режимы в нелинейной системе, линейная часть которой имеет следующую передаточную функцию

где k=200 c -1 ; T 1 =1.5 c; T 2 =0.015 c,

а в качестве нелинейного элемента используется реле с зоной нечувствительности (рис. 2.4,б) при с=10 В, b=2 В.

Р е ш е н и е. По таблице для реле с зоной нечувствительности находим коэффициенты гармонической линеаризации:

При a ³ b, q¢(a ) = 0.

При построении характеристик нелинейного элемента целесообразно использовать относительное по сравнению с зоной нечувствительности значение амплитуды входного гармонического воздействия m = a /b. Перепишем выражение коэффициента гармонической линеаризации в виде

где - коэффициент передачи реле;

Относительная амплитуда.

Коэффициент передачи реле k н отнесем к линейной части системы и получим нормированные коэффициенты гармонической линеаризации

и нормированную логарифмическую амплитудную характеристику релейного элемента с обратным знаком

Если m ® 1, то -L э (m) ® ¥; а при m >> 1 -L э (m) = 20 lg m. Таким образом, асимптотами нормированной логарифмической амплитудной характеристики с обратным знаком являются вертикальная прямая и прямая с наклоном +20дб/дек, которые проходят через точку с координатами L = 0, m = 1 (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Определение периодического решения в релейной системе

с зоной нечувствительности

a 0 = b´m 1 = = 58 В.

Для решения вопроса о существовании автоколебаний в соответствии с нормированной логарифмической амплитудной характеристикой с обратным знаком нелинейного элемента и передаточной функцией линейной части системы

на рис. 2.13 построены логарифмические характеристики L лч (w), -L э (m) и y лч (w).

Частота периодического решения w 0 = 4.3 c -1 определяется в точке пересечения фазовой характеристики y лч (w) и линии -180 0 . Амплитуды периодических решений m 1 = 29 и m 2 = 1.08 находятся по характеристикам L лч (w) и -L э (m). Периодическое решение с малой амплитудой m 2 неустойчиво, а периодическое решение с большой амплитудой m 1 устойчиво.

Таким образом, в исследуемой релейной системе существует автоколебательный режим с частотой w 0 = 4.3 c -1 и амплитудой a 0 = b´m 1 = = 58 В.

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для нахождения минимума функции двух переменных методом непосредственной линеаризации.

Правила ввода функций:

Все переменные выражаются через x 1 ,x 2
Все математические операции выражаются через общепринятые символы (+,-,*,/,^). Например, x 1 2 +x 1 x 2 , записываем как x1^2+x1*x2 .

Все рассматриваемые ниже методы основываются на разложении нелинейной функции общего вида f(x) в ряд Тейлора до членов первого порядка в окрестности некоторой точки x 0:

где – отбрасываемый член второго порядка малости.
Таким образом, функция f(x) аппроксимируется в точке x 0 линейной функцией:
,
где x 0 – точка линеаризации.
Замечание . Линеаризацию следует использовать с большой осторожностью, поскольку иногда она дает весьма грубое приближение.

Общая задача нелинейного программирования

Рассмотрим общую задачу нелинейного программирования:

Пусть x t – некоторая заданная оценка решения. Использование непосредственной линеаризации приводит к следующей задаче:

Эта задача представляет собой ЗЛП. Решая ее, находим новое приближение x t +1 , которое может и не принадлежать допустимой области решений S.
Если , то оптимальное значение линеаризованной целевой функции, удовлетворяющее неравенству:

может не быть точной оценкой истинного значения оптимума.
Для сходимости к экстремуму достаточно, чтобы для последовательности точек { x t }, полученных в результате решения последовательности подзадач ЛП, выполнялось следующее условие:
значение целевой функции и невязки по ограничениям в точке x t +1 должно быть меньше их значений в точке x t .

Пример №1 .

Построим допустимую область S (см. рис.).

Допустимая область S состоит из точек кривой h(x)=0, лежащей между точкой (2;0), определяемой ограничением x 2 ≥0, и точкой (1;1), определяемой ограничением g(x) ≥0.
В результате линеаризации задачи в точке x 0 =(2;1) получаем следующую ЗЛП:

Здесь представляет собой отрезок прямой , ограниченный точками (2.5; 0.25) и (11/9; 8/9). Линии уровня линеаризованной целевой функции представляют собой прямые с наклоном -2, тогда как линии уровня исходной целевой функции – окружности с центром в точке (0;0). Ясно, что решением линеаризованной задачи является точка x 1 =(11/9; 8/9). В этой точке имеем:

так что ограничение–равенство нарушается. Произведя новую линеаризацию в точке x 1 , получаем новую задачу:

Новое решение лежит на пересечении прямых и и имеет координаты x 2 =(1.0187; 0.9965). Ограничение– равенство () все еще нарушается, но уже в меньшей степени. Если произвести еще две итерации, то получим очень хорошее приближение к решению x * =(1;1), f(x *)=2

Таблицa - Значения целевой функции для некоторых итераций:

Итерация	f	g	h
0	5	3	–1
1	2,284	0,605	–0,0123
3	2,00015	3,44×10 -4	–1,18×10 -5
Оптимум	2	0	0

Из таблицы видно, что значения f,g и h монотонно улучшаются. Однако такая монотонность характерна для задач, функции которых являются "умеренно" нелинейными. В случае функций с ярко выраженной нелинейностью монотонность улучшения нарушается и алгоритм перестает сходиться.
Существует три способа усовершенствования методов непосредственной линеаризации:
1. Использование линейного приближения для отыскания направления спуска.
2. Глобальная аппроксимация нелинейной функции задачи при помощи кусочно–линейчатой функции.
3. Применение последовательных линеаризаций на каждой итерации для уточнения допустимой области S.

По характеру функционирования САР разделяют на 4 класса: Системы автоматической стабилизации характеризуются тем что в процессе работы системы задающее воздействие остается постоянным. Системы программного регулирования задающее воздействие изменяется по заранее установленному закону как функция времени и координат системы. Следящие системы задающее воздействие является величиной переменной но математическое описание по времени не может быть установлено т. Адаптивные или самонастраивающиеся системы такие системы автоматически...

Поделитесь работой в социальных сетях

Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

Лекция №2. Классификация и Требования, предъявляемые к САР. Линейные и нелинейные САР. Общий метод линеаризации

(Слайд 1)

2.1. Классификация САР

(Слайд 2)

САР классифицируются по различным признакам. По характеру функционирования САР разделяют на 4 класса:

Системы автоматической стабилизации (характеризуются тем, что в процессе работы системы задающее воздействие остается постоянным). Пример: стабилизатор скорости вращения двигателя.
Системы программного регулирования (задающее воздействие изменяется по заранее установленному закону, как функция времени и координат системы). Пример: автопилот.
Следящие системы (задающее воздействие является величиной переменной, но математическое описание по времени не может быть установлено, т.к. источником сигнала является внешнее воздействие, закон перемещения которого заранее не известен). Пример: радиолокационная станция сопровождения самолета.
Адаптивные или самонастраивающиеся системы (такие системы автоматически выбирают оптимальный закон регулирования и могут в процессе работы изменять характеристики регулятора). Пример: компьютерная игра с нелинейным сюжетом.

(Слайд 3)

Так же САР разделяют по характеру сигналов в устройстве управления:

Непрерывные (входной и выходной сигнал непрерывные функции времени). Пример: компараторы, операционные усилители.
Релейные (если в системе имеется хотя бы один элемент с релейной характеристикой). Пример: различные реле, аналоговые ключи и мультиплексоры.
Импульсные (характеризуется наличием хотя бы одного импульсного элемента). Пример: тиристоры, цифровые схемы.

Все САР можно разделить по зависимости выходных характеристик от входных на линейные и нелинейные .

2.2. Требования предъявляемые к САР

(Слайд 4)

1. Регулируемая величина должна поддерживаться на заданном уровне независимо от возмущения. Переходный процесс представляется динамической характеристикой, по которой можно судить о качестве работы системы.

2. Должно выполняться условие устойчивости, т.е. система должна обладать запасом устойчивости.

3. Быстродействие время переходного процесса, характеризующее быстроту реакции системы.

(Слайд 5)

4. Должны выполняться нормы перерегулирования. Для определения величины перерегулирования используются два основных параметра:

Коэффициент перерегулирования

где y m максимальное отклонение выходной величины во время переходного процесса, y ∞ значение выходной величины в установившемся режиме. Допустимое значение  = 0  25 % .

(Слайд 6)

Мера колебательности процесса число колебаний за время переходного процесса (не более 2-х)

5. Должны выполнение требования статической точности. Если в системе процессы случайные, то для обеспечения точности вводятся вероятностные характеристики.

2. 3 . Линейные и нелинейные САР

Динамические процессы в системах регулирования описываются дифференциальными уравнениями.

(Слайд 7)

В линейных системах процессы описываются при помощи линейных дифференциальных уравнений. В нелинейных системах процессы описываются уравнениями, содержащими какие-либо нелинейности . Расчеты линейных систем хорошо разработаны и более просты для практического применения. Расчеты же нелинейных систем часто связаны с большими трудностями.

Чтобы система регулирования была линейной, необходимо (но недостаточно) иметь статические характеристики всех звеньев в виде прямых линий. В действительности реальные статические характеристики в большинстве случаев не являются прямолинейными. Поэтому, чтобы рассчитать реальную систему как линейную, необходимо все криволинейные статические характеристики звеньев на рабочих участках, которые используются в данном процессе регулирования, заменить прямолинейными отрезками. Это называется линеаризацией . Большинство систем непрерывного регулирования поддаётся такой линеаризации.

(Слайд 8)

Линейные системы разделяются на обыкновенные линейные системы и на особые линейные системы. К первым относятся такие системы, все звенья которых описываются обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами.

(Слайд 9)

К особым линейным системам относятся:

а) системы с переменными по времени параметрами , которые описываются линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами;

б) системы с распределёнными параметрами , где приходится иметь дело с уравнениями в частных производных, и системы с временным запаздыванием, описываемые уравнениями с запаздывающим аргументом;

(Слайд 10)

в) импульсные системы , где приходится иметь дело с разностными уравнениями.

(Слайд 11)

Рис. 2.1. Характеристики нелинейных элементов

В нелинейных системах при анализе процесса регулирования приходится учитывать нелинейность статической характеристики хотя бы в одном её звене или какие-то нелинейные дифференциальные зависимости в уравнениях динамики системы. Иногда нелинейные звенья специально вводятся в систему для обеспечения наибольшего быстродействия или других желаемых качеств.

К нелинейным системам относятся прежде всего релейные системы, так как релейная характеристика (рис. 2.1, а и б ) не может быть заменена одной прямой линией. Нелинейным будет звено, в характеристике которого имеется зона нечувствительности (рис. 2.1, в ).

Явления насыщения или механического ограничения хода приводят к характеристике с ограничением линейной зависимости на концах (рис. 2.1, г ). Эта характеристика также должна считаться нелинейной, если рассматриваются такие процессы, когда рабочая точка выходит за пределы линейного участка характеристики.

К нелинейным зависимостям относятся также гистерезисная кривая (рис. 2.1, д ), характеристика зазора в механической передаче (рис. 2.1, е), сухое трение (рис. 2.1, ж ), квадратичное трение (рис. 2.1, и ) и др. В последних двух характеристиках x 1 обозначает скорость перемещения, а x 2 силу или момент трения.

Нелинейной является вообще любая криволинейная зависимость между выходной и входной величинами звена (рис. 2.1, к ). Это нелинейности простейшего типа. Кроме того, нелинейности могут входить в дифференциальные уравнения в виде произведения переменных величин и их производных, а также в виде более сложных функциональных зависимостей.

Не все нелинейные зависимости поддаются простой линеаризации. Так, например, линеаризация не может быть сделана для характеристик, изображенных на рис. 2.1, а или на рис. 2.1, е. Подобные сложные случаи будут рассмотрены в разд. 9.

2.4. Общий метод линеаризации

(Слайд 12)

В большинстве случаев можно линеаризовать нелинейные зависимости, используя метод малых отклонений или вариаций. Для рассмотрения его обратимся к некоторому звену системы автоматического регулирования (рис. 2.2). Входная и выходная величины обозначены через X 1 и X 2 , а внешнее возмущение через F (t ).

Допустим, что звено описывается некоторым нелинейным дифференциальным уравнением вида

. (2.1)

Для составления такого уравнения нужно использовать соответствующую отрасль технических наук (например электротехнику, механику, гидравлику и т. п.), изучающую этот конкретный вид устройства.

(Слайд 13)

Основанием для линеаризации служит предположение о достаточной малости отклонений всех переменных, входящих в уравнение динамики звена, так как именно на достаточно малом участке криволинейную характеристику можно заменить отрезком прямой. Отклонения переменных отсчитываются при этом от их значений в установившемся процессе или в определенном равновесном состоянии системы. Пусть, например, установившийся процесс характеризуется постоянным значением переменной Х 1 , которое обозначим Х 10 . В процессе регулирования (рис. 2.3) переменная Х 1 будет иметь значения

где обозначает отклонение переменной X 1 от установившегося значения Х 10 .

Аналогичные соотношения вводятся для других переменных. Для рассматриваемого случая имеем:

а также

Все отклонения предполагаются достаточно малыми. Это математическое предположение не противоречит физическому смыслу задачи, так как сама идея автоматического регулирования требует, чтобы все отклонения регулируемой величины в процессе регулирования были достаточно малыми.

Установившееся состояние звена определяется значениями Х 10 , Х 20 и F 0 . Тогда уравнение (2.1) может быть записано для установившего состояния в виде

. (2.2)

(Слайд 15)

Разложим левую часть уравнения (2.1) в ряд Тейлора

(2.3)

где  члены высшего порядка. Индекс 0 при частных производных означает, что после взятия производной в её выражение надо подставить установившееся значение всех переменных

; ; ; .

В состав членов высшего порядка в формуле (2.3) входят высшие частные производные, умноженные на квадраты, кубы и более высокие степени отклонений, а также произведения отклонений. Они будут малыми высшего порядка по сравнению с самими отклонениями, которые являются малыми первого порядка.

(Слайд 16)

Уравнение (2.3) является уравнением динамики звена, так же как (2.1), но записано в другой форме. Отбросим в этом уравнении малые высшего порядка, после чего из уравнения (2.3) вычтем уравнения установившегося состояния (2.2). В результате получим следующее приближённое уравнение динамики звена в малых отклонениях:

(2.4)

В это уравнение все переменные и их производные входят линейно, то есть в первой степени. Все частные производные представляют собой некоторые постоянные коэффициенты в том случае, если исследуется система с постоянными параметрами. Если же система имеет переменные параметры, то уравнение (2.4) будет иметь переменные коэффициенты. Рассмотрим только случай постоянных коэффициентов.

(Слайд 17)

Получение уравнения (2.4) является целью проделанной линеаризации. В теории автоматического регулирования принято записывать уравнения всех звеньев так, чтобы в левой части уравнения была выходная величина, а все остальные члены переносятся в правую часть. При этом все члены уравнения делятся на коэффициент при выходной величине. В результате уравнение (2.4) принимает вид

, (2.5)

где введены следующие обозначения

(Слайд 18)

Кроме того, для удобства принято все дифференциальные уравнения записывать в операторной форме с обозначениями

И т.д.

Тогда дифференциальное уравнение (2.5) запишется в виде

, (2.6)

Эту запись будем называть стандартной формой записи уравнения динамики звена.

Коэффициенты Т 1 и Т 2 имеют размерность времени секунды. Это вытекает из того, что все слагаемые в уравнении (2.6) должны иметь одинаковую размерность, а например, размерность (или p x 2 ) отличается от размерности х 2 на секунду в минус первой степени (с -1 ). Поэтому коэффициенты Т 1 и Т 2 называют постоянными времени .

Коэффициент k 1 имеет размерность выходной величины, деленную на размерность входной. Он называется коэффициентом передачи звена. Для звеньев, у которых выходная и входная величины имеют одинаковую размерность, используются также следующие термины: коэффициент усиления для звена, представляющего собой усилитель или имеющего в своем составе усилитель; передаточное число для редукторов, делителей напряжения, масштабирующих устройств и т. п.

Коэффициент передачи характеризует статические свойства звена, так как в установившемся состоянии. Следовательно, он определяет крутизну статической характеристики при малых отклонениях. Если изобразить всю реальную статическую характеристику звена, то линеаризация дает или. Коэффициент передачи k 1 будет представлять собой тангенс угла наклона  касательной в той точке C (см. рис. 2.3), от которой отсчитываются малые отклонения х 1 и х 2 .

Из рисунка видно, что проделанная выше линеаризация уравнения справедлива для процессов регулирования, захватывающих такой участок характеристики АВ , на котором касательная мало отличается от самой кривой.

(Слайд 19)

Кроме того, отсюда вытекает другой, графический способ линеаризации. Если известна статическая характеристика и точка C , определяющая установившееся состояние, около которого происходит процесс регулирования, то коэффициент передачи в уравнении звена определяется графически из чертежа по зависимости k 1 = tg  c учетом масштабов чертежа и размерности x 2 . Во многих случаях графический метод линеаризации оказывается более удобным и быстрее приводит к цели.

(Слайд 20)

Размерность коэффициента k 2 равна размерности коэффициента передачи k 1 , умноженной на время. Поэтому часто уравнение (2.6) записывают в виде

где постоянная времени.

Постоянные времени Т 1 , Т 2 и Т 3 определяют динамические свойства звена. Этот вопрос будет рассмотрен подробно ниже.

Коэффициент k 3 представляет собой коэффициент передачи по внешнему возмущению.

PAGE 1

Другие похожие работы, которые могут вас заинтересовать.вшм>
13570.		Линейные и нелинейные режимы лазерного нагрева	333.34 KB
	Линейные режимы лазерного нагрева Для анализа линейных режимов лазерного нагрева рассмотрим процессы воздействия ЛИ на полупространство экспоненциально спадающим с глубиной тепловым источником. Поэтому идеализация свойств тепловых источников часто допускаемая в расчетных схемах для уменьшения математических трудностей может приводить к заметным отклонениям расчетных данных от экспериментальных. Для непрозрачных материалов в большинстве случаев нагрева ЛИ источники тепла могут считаться поверхностными коэффициент поглощения α 104  105...
16776.		Требования, предъявляемые к налоговой политике государства в условиях кризиса	21.72 KB
	Требования предъявляемые к налоговой политике государства в условиях кризиса Для развития предпринимательской деятельности в современных экономических условиях необходимо наличие определенных условий в том числе: - наличие эффективной налоговой системы стимулирующей развитие предпринимательства; - наличие определенной совокупности прав и свобод выбор вида хозяйственной деятельности планирование источников финансирования доступ к ресурсам организация и управление компанией и т. Таким образом для поступательного развития...
7113.		Метод гармонической линеаризации	536.48 KB
	Метод гармонической линеаризации Поскольку этот метод является приближённым то полученные результаты будут близки к истине только при выполнении определённых допущений: Нелинейная система должна содержать только одну нелинейность; Линейная часть системы должна представлять собой фильтр низких частот ослабляющий высшие гармоники возникающие в предельном цикле; Метод применим только к автономным системам. Изучается свободное движение системы то есть движение при ненулевых начальных условиях в отсутствие внешних воздействий....
12947.		МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ	338.05 KB
	Переходя непосредственно к рассмотрению метода гармонической линеаризации будем считать что исследуемая нелинейная система приведена к виду показанному на. Нелинейный элемент может иметь любую характеристику лишь бы она была интегрируемой без разрывов второго рода. Преобразование данной переменной для примера нелинейным элементом с зоной нечувствительности показано на рис.
2637.		Аппликационные лекарственные препараты. Общая характеристика. Классификация. Основные требования. Технология нанесения адгезивов на подложку при производстве аппликационных лекарственных препаратов	64.04 KB
	Аппликационные лекарственные препараты пластыри мозольные лейкопластыри перцовые пластыри кожные клеи жидкие пластыри пленки ТТС и др. Общая характеристика и классификация пластырей Пластыри Emplstr лекарственная форма для наружного применения обладающая способностью прилипать к коже оказывающая действие на кожу подкожные ткани и в ряде случаев общее воздействие на организм. Пластыри одна из старейших лекарственных форм известная с очень древних времен прародители современных препаратов четвертого поколения...
7112.		НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ	940.02 KB
	Физические законы движения окружающего нас мира таковы что все объекты управления нелинейны. Другие нелинейности называемые структурными вводятся в систему преднамеренно для получения требуемых характеристик системы. Если нелинейности выражены слабо то поведение нелинейной системы незначительно отличается от поведения линейной системы. Создать точную модель реальной системы невозможно.
21761.		Общий пантеон богов древней Мессопотамии. Боги древнего Шумера	24.7 KB
	Древняя религия народов Месопотамии, несмотря на собственный консерватизм, постепенно, в ходе общественного развития, претерпевала изменения, отражаюшие в себе и политические, и социально-экономические процессы, происходящие на территории Месопотамии.
11507.		формированиЕ финансового результата и общий анализ финансово-хозяйственной деятельности организации	193.55 KB
	Для более глубокого ознакомления с деятельностью любого предприятия возникает необходимость в изучении его со всех возможных сторон в формировании наиболее объективного мнения как о положительных так и отрицательных сторонах в работе в выявлении наиболее уязвимых мест и способах их устранения. Для проведения финансового анализа используют специальный инструментарий так называемые финансовые коэффициенты. Используя необходимую информацию объективно и наиболее точно оценить финансовое состояние организации его прибыли и убытки изменения...
13462.		Статистический анализ рисковых активов. Нелинейные модели	546.54 KB
	Однако реальные данные для многих финансовых временных рядов показывают что линейные модели не всегда адекватно отражают истинную картину поведения цен. Если иметь ввиду разложение Дуба в котором привлекаются условные математические ожидания вполне естественным является предположение о том что условные распределения являются гауссовскими...
4273.		Линейные математические модели	3.43 KB
	Линейные математические модели. Выше отмечалось, что любая математическая модель может рассматриваться как некоторый оператор А, который является алгоритмом или определяется совокупностью уравнений - алгебраических...

Применительно к функции Z = cp (X , Х 2 , ..., XJ, нелинейной относительно системы своих аргументов, решение задачи в сформулированной выше постановке может быть получено, как правило, лишь приближенно на основе метода линеаризации. Сущность метода линеаризации заключается в том, что нелинейную функцию заменяют некоторой линейной и затем по уже известным правилам находят числовые характеристики этой линейной функции, считая их приближенно равными числовым характеристикам нелинейной функции.

Сущность этого метода рассмотрим на примере функции одного случайного аргумента.

Если случайная величина Z является заданной функцией

случайного аргумента X, то ее возможные значения z связаны с возможными значениями аргумента х функцией того же вида, т. е.

(например, если Z = sin X, то z = sin X).

Разложим функцию (3.20) в ряд Тейлора в окрестности точки х = m , ограничиваясь только первыми двумя членами разложения, и будем считать, что

Значение производной функции (3.20) по аргументу х при х = т х.

Такое допущение равносильно замене заданной функции (3.19) линейной функцией

На основе теорем о математических ожиданиях и дисперсиях получим расчетные формулы для определения числовых характеристик m z ий в виде

Заметим, что в рассматриваемом случае стандартное отклонение а г следует вычислять по формуле

(Модуль производной здесь берется потому, что она

может быть и отрицательной.)

Применение метода линеаризации для нахождения числовых характеристик нелинейной функции

произвольного числа случайных аргументов приводит к расчетным формулам для определения ее математического ожидания, имеющим вид

х 2 , ..., х п) по аргументам х. и х. соответственно, вычисленные с учетом знаков в точке ш х, т^,т Хп, т. е. путем замены всех входящих в них аргументов x v х 2 , ..., х п их математическими ожиданиями.

Наряду с формулой (3.26) для определения дисперсии D ? можно использовать расчетную формулу вида

где г х х - коэффициент корреляции случайных аргументов х.

Применительно к нелинейной функции независимых (или хотя бы некоррелированных) случайных аргументов формулы (3.26) и (3.27) имеют вид

Формулы, основанные на линеаризации нелинейных функций случайных аргументов, позволяют определять их числовые характеристики лишь приближенно. Точность вычисления тем меньше, чем больше заданные функции отличаются от линейных и чем больше дисперсии аргументов. Оценить возможную ошибку в каждом конкретном случае не всегда удается.

Для уточнения результатов, полученных по данному методу, может быть использован прием, основанный на сохранении в разложении нелинейной функции не только линейных, но и некоторых последующих членов разложения (как правило, квадратичных).

Кроме того, числовые характеристики нелинейной функции случайных аргументов можно определять на основе предварительного отыскания закона ее распределения при заданном распределении системы аргументов. Однако нужно иметь в виду, что аналитическое решение такой задачи часто оказывается слишком сложным. Поэтому для нахождения числовых характеристик нелинейных функций случайных аргументов широко используется метод статистического моделирования.

Основой метода является имитация серии испытаний, в каждом из которых путем моделирования получается определенная совокупность х и, x 2i , ..., x ni значений случайных аргументов x v х 2 ,..., х п из множества, отвечающего их совместному распределению. Полученные значения с помощью заданного соотношения (3.24) преобразуются в соответствующие значения z. исследуемой функции Z. По результатам z v z 2 , ..., z., ..., z k всех к таких испытаний искомые числовые характеристики вычисляются методами математической статистики.

Пример 3.2. Определить на основе метода линеаризации математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины

1. По формуле (3.20) получаем

2. Используя таблицу производных элементарных функций, находим

и вычисляем значение этой производной в точке :

3. По формуле (3.23) получаем

Пример 3.3. Определить на основе метода линеаризации математическое ожидание и стандартное отклонение случайной величины

1. По формуле (3.25) получаем

2. Запишем формулу (3.27) для функции двух случайных аргументов

3. Находим частные производные от функции Z по аргументам Х 1 иХ 2:

и вычисляем их значения в точке (m Xi ,т х2):

4. Подставив полученные данные в формулу для расчета дисперсии Z, получим D z = 1. Следовательно, и ст г = 1.

Метод гармонической линеаризации (гармонического баланса ) позволяет определить условия существования и параметры возможных автоколебаний в нелинейных САУ. Автоколебания определяются предельными циклами в фазовом пространстве систем. Предельные циклы разделяют пространство (в общем случае - многомерное ) на области затухающих и расходящихся процессов. В результате расчета параметров автоколебаний можно сделать заключение о их допустимости для данной системы или о необходимости изменения параметров системы.

Метод позволяет:

Определить условия устойчивости нелинейной системы;

Найти частоту и амплитуду свободных колебаний системы;

Синтезировать корректирующие цепи, для обеспечения требуемых параметров автоколебаний;

Исследовать вынужденные колебания и оценивать качество переходных процессов в нелинейных САУ.

Условия применимости метода гармонической линеаризации.

1) При использовании метода предполагается, что линейная часть системы устойчива или нейтральна.

2) Сигнал на входе нелинейного звена близок по форме к гармоническому сигналу. Это положение требует пояснений.

На рис.1 представлены структурные схемы нелинейной САУ. Схема состоит из последовательно соединенных звеньев: нелинейного звена y=F(x) и линейно-

го, которое описывается дифференциальным уравнением

При y = F(g - x) = g - x получим уравнение движения линейной системы.

Рассмотрим свободное движение, т.е. при g(t) º 0. Тогда,

В случае, когда в системе существуют автоколебания, свободное движение системы является периодическим. Непериодическое движение с течением времени оканчивается остановкой системы к некотором конечном положении (обычно, на специально предусмотренном ограничителе).

При любой форме периодического сигнала на входе нелинейного элемента сигнал на его выходе будет содержать кроме основной частоты высшие гармоники. Предположение о том, что сигнал на входе нелинейной части системы можно считать гармоническим, т.е., что

x(t)@ a×sin(wt),

где w=1/T, T - период свободных колебаний системы, равносильно предположению о том, что линейная часть системы эффективно фильтрует высшие гармоники сигнала y(t) = F(x (t)).

В общем случае при действии на входе нелинейного элемента гармонического сигнала x(t) сигнал на выходе может быть преобразован по Фурье:

Коэффициенты ряда Фурье

Для упрощения выкладок положим C 0 =0, т.е., что функция F(x) симметрична относительно начала координат. Такое ограничение не обязательно и сделано анализа. Появление коэффициентов C k ¹ 0 означает, что, в общем случае нелинейное преобразование сигнала сопровождается и фазовыми сдвигами преобразуемого сигнала. В частности, это имеет место в нелинейностях с неоднозначными характеристиками (с различного рода гистерезисными петлями), причем как запаздывание так и, в некоторых случаях, опережение по фазе .

Предположение об эффективной фильтрации означает, что амплитуды высших гармоник на выходе линейной части системы малы, то есть

Выполнению этого условия способствует то, что во многих случаях амплитуды гармоник уже непосредственно на выходе нелинейности оказываются существенно меньше амплитуды первой гармоники. Например, на выходе идеального реле при гармоническом сигнале на входе

y(t)=F(с×sin(wt))=a×sign(sin(wt))

четные гармоники отсутствуют, а амплитуда третьей гармоники в три раза меньше амплитуды первой гармоники

Сделаем оценку степени подавления высших гармоник сигнала в линейной части САУ. Для этого сделаем ряд предположений.

1) Частота свободных колебаний САУ приблизительно равна частоте среза ее линейной части. Отметим, что частота свободных колебаний нелинейной САУ может существенно отличаться от частоты свободных колебаний линейной системы так, что это допущение не всегда корректно .

2) Показатель колебательности САУ примем равным M=1.1.

3) ЛАХ в окрестностях частоты среза (w с) имеет наклон -20 дБ/дек. Границы этого участка ЛАХ связаны с показателем колебательности соотношениями

4) Частота w max является сопрягающей с участком ЛФХ, так что при w > w max наклон ЛАХ не менее минус 40 дБ/дек.

5) Нелинейность - идеальное реле с характеристикой y = sign(x) так, что на ее выходе нелинейности будут присутствовать только нечетные гармоники.

Частоты третьей гармоники w 3 = 3w c , пятой w 5 = 5w с,

lgw 3 = 0.48+lgw c ,

lgw 5 = 0.7+lgw c .

Частота w max = 1.91w с, lgw max = 0.28+lgw c . Сопрягающая частота отстоит от частоты среза на 0.28 декады.

Уменьшение амплитуд высших гармоник сигнала при их прохождении через линейную часть системы составит для третьей гармоники

L 3 = -0.28×20-(0.48-0.28)×40 = -13.6 дБ, то есть в 4.8 раза,

для пятой - L 5 = -0.28×20-(0.7-0.28)×40 = -22.4 дБ, то есть в 13 раз.

Следовательно, сигнал на выходе линейной части окажется близким к гармоническому