Урок 24. Преобразования графиков тригонометрических функций
09.07.2015 5528 0Цель: рассмотреть наиболее распространенные преобразования графиков тригонометрических функций.
I. Сообщение темы и цели урока
II. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).
Вариант 1
sin х.
2. Найдите основной период функции:
3. Постройте график функции
Вариант 2
1. Основные свойства и график функции у = cos х.
2. Найдите основной период функции:
3. Постройте график функции
III. Изучение нового материала
Все преобразования графиков функций, изложенные подробно в главе 1, являются универсальными - они пригодны для всех функций, в том числе и тригонометрических. Поэтому рекомендуем повторить эту тему. Здесь же ограничимся кратким напоминанием основных преобразований графиков.
1. Для построения графика функции у = f (x ) + b надо перенести график функции на | b | единиц вдоль оси ординат - вверх при b > 0 и вниз при b < 0.
2. Для построения графика функции y = mf (x ) (где m > 0) надо растянуть график функции у = f (x ) в m раз вдоль оси ординат. Причем для m > 1 происходит действительно растяжение в m раз, для 0 < m < 1 - сжатие в 1/ m раз.
3. Для построения графика функции у = f (x + a ) надо перенести график функции на | a | единиц вдоль оси абсцисс - вправо при а < 0 и влево при а > 0.
4. Для построения графика функции у = f (kx ) (где к > 0) надо сжать график функции у = f (x ) в k раз вдоль оси абсцисс. Причем для k > 1 происходит действительно сжатие в к раз, для 0 < k < 1 – растяжение в 1/ k раз.
5. Для построения графика функции у = - f (x ) надо график функции y = f (x ) отразить относительно оси абсцисс (это преобразование - частный случай преобразования 2 для m = -1).
6. Для построения графика функции у = f (-х) надо график функции y = f (x ) отразить относительно оси ординат (это преобразование - частный случай преобразования 4 для k = -1).
Пример 1
Построим график функции у = - cos 3 x + 2.
В соответствии с правилом 5 надо график функции у = cos x отразить относительно оси абсцисс. По правилу 3 этот график надо сжать в три раза вдоль оси абсцисс. Наконец, такой график по правилу 1 надо поднять вверх на три единицы вдоль оси ординат.
Полезно также напомнить правила преобразования графиков с модулями.
1. Для построения графика функции y = | f (х)| надо сохранить часть графика функции у = f (x ), для которой у ≥ 0. Ту часть графика у = f (x ), для которой у < 0, надо симметрично отразить вверх относительно оси абсцисс.
2. Для построения графика функции у = f (|х|) надо сохранить часть графика функции у = f (x ), для которой х ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить влево относительно оси ординат.
3. Для построения графика уравнения |у| = f (х) надо сохранить часть графика функции у = f (x ), для которой у ≥ 0. Кроме того, эту часть надо симметрично отразить вниз относительно оси абсцисс.
Пример 2
Построим график уравнения |у| = sin | x |.
Построим график функции у = sin x для x ≥ 0. Этот график по правилу 2 отразим влево относительно оси ординат. Сохраним части такого графика, для которых у ≥ 0. По правилу 3 эти части симметрично отразим вниз относительно оси абсцисс.
В более сложных случаях знаки модуля необходимо раскрывать.
Пример 3
Построим график сложной функции у = cos (2 x + |х|).
Напомним, что аргумент функции косинуса представляет собой функцию переменной х, и поэтому данная функция является сложной. Раскроем знак модуля и получим: Для двух таких промежутков построим график функции y (x ). Учтем, что при х ≥ 0 график функции у = cos 3 x получается из графика функции у = cos х сжатием в 3 раза вдоль оси абсцисс.
Пример 4
Построим график функции
Используя формулу квадрата разности, запишем функцию в виде График функции состоит из двух частей. При х > 0 надо построить график функции у = 1 - cos х. Он получается из графика функции у = cos x отражением относительно оси абсцисс и смещением на 1 единицу вверх вдоль оси ординат.
При х ≥ 0 строим график функции у = (x -1)2 - 1. Он получается из графика функции у = x 2 смещением на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс и на 1 единицу вверх вдоль оси ординат.
IV. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)
1. Правила преобразований графиков функций.
2. Преобразования графиков с модулями.
V. Задание на уроке
§ 13, № 2 (а, б); 3; 5; 7 (в, г); 8 (а, б); 9 (а); 10 (б); 11 (а, б); 13 (в, г); 14; 17 (а, б); 19 (б); 20 (а, в).
VI. Задание на дом
§ 13, № 2 (в, г); 4; 6; 7 (а, б); 8 (в, г); 9 (б); 10 (а); 11 (в, г); 13 (а, б); 15; 17 (в, г); 19 (а); 20 (б, г).
VII. Творческое задание
Постройте график функции, уравнения, неравенства:
VIII. Подведение итогов урока
Конспект урока по алгебре в 10 классе
Васильева Екатерина Сергеевна ,
учитель математики
ОГБОУ «Смоленская специальная (коррекционная)
общеобразовательная школа I и II видов»
Смоленск
Тема урока: «Преобразование графиков тригонометрических функций».
Название модуля : преобразование графиков тригонометрических функций.Интегрирующая дидактическая цель : отработать навыки построения графиков тригонометрических функций.Целевой план действий для учащихся:
- повторить основные свойства тригонометрических функций; отработать навык преобразования графиков тригонометрических функций; способствовать развитию логического мышления; воспитывать интерес к изучению предмета.
Банк информации.
Входной контроль. Назовите свойства функций y = sin x (рис. 1).Рис . 1
Свойства:
- D(y)=R E(y)=[-1;1], функция ограничена sin(-x)=-sinx, функция нечётная Наименьший положительный период: 2π
sin (x+2πn)= sin x, n Є Z, x Є R. sin x=0 при x=πk, kЄ Z sin x>0, x Є (2πk;2π+2πk), k Є Z sin x Наибольшее значение, равное 1, y=sin x принимает в точках x=π/2+ 2πk, k Є Z. Наименьшее значение, равное -1, y=sin x принимает в точках x=3π/2+ 2πk, k Є Z.
Рис . 2
Свойства:
- D (y)=R E (y)=[-1;1], функция ограничена cos(-x)= cos x, функция чётная Наименьший положительный период: 2π
cos (x+2πn)=cos x, n Є Z, x Є R cos x=0 при x=π/2+πk, kЄZ cos x>0, x Є (-π/2+2πk; π/2+2πk), k Є Z cos x Наибольшее значение, равное 1, y=cos x принимает в точках x= 2πk, k Є Z. Наименьшее значение, равное -1, y=cos x принимает в точках x=π+ 2πk, k Є Z.
Риc . 3
Свойства:
- D(y)-множество всех действительных чисел, кроме чисел вида x=π/2 +πk, k Є Z E(y)=(-∞;+ ∞), функция неограниченная tg(-x)=-tg x, функция нечётная наименьший положительный период: π
tg(x+π)= tg x tgx= 0 при x=πk, k Є Z tg x> 0, x Є (πk; π/2+πk), k Є Z tg x
Рис . 4
Свойства:
- D(y)-множество всех действительных чисел, кроме чисел вида x=πk, k Є Z E(y)= (-∞;+ ∞), функция неограниченная ctg(-x)=-ctg x, функция нечётная Наименьший положительный период: π
ctg(x+π)=tg x ctg x = 0 при x=π/2+πk, k Є Z ctg x>0, x Є(πk; π/2+πk), k Є Z ctg x
Объяснение материала.
- y
=
f
(x
)+
a
, где a - постоянное число, надо перенести график y
=
f
(x
)
вдоль оси ординат. Если a>0, то график переносим параллельно самому себе вверх, если a Для построения графика функции y
=
kf
(x
)
надо растянуть график функции y
=
f
(x
)
в k
раз вдоль оси ординат. Если |
k
|>1
, то происходит растяжение графика вдоль оси OY
, если 0k
| , то – сжатие. График функции y
=
f
(x
+
b
)
получается из графика y
=
f
(x
)
путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс. Если b>0 , то график перемещается влево, если b
Для построения графика функции y = f (kx ) надо растянуть график y = f (x ) вдоль оси абсцисс. Если | k |>1 , то происходит сжатие графика вдоль оси OХ , если 0
Закрепление материала.
Уровень А
Частная дидактическая цель : отработать навык построения тригонометрических функций путем преобразований.
Методический комментарий для учащихся :
Ox в 3 раза.
График функции получается из графика путем растяжения вдоль оси Oy в 2 раза.
График функции получается из графика путем параллельного переноса на 2 единицы вверх вдоль оси Oy .
График функции получается из графика путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс на единиц влево .
Г
рафик функции получается из графика путем сжатия вдоль оси Oy
в 4 раза.
Уровень В.
Частная дидактическая цель : тригонометрических функций путем последовательного применения преобразований .
Методический комментарий для учащихся : постройте графики функций, выполнив преобразования.
График функции получается из графика путем параллельного переноса вдоль оси абсцисс на единиц вправо .
График функции получается из графика функции путем последовательного выполнения следующих преобразований:
1) параллельный перенос на единицы влево вдоль оси абсцисс
2) сжатие вдоль оси Оy в 4 раза.
График функции получается из графика функции , каждая ордината которого изменяется в -2 раза. Для этого выполняем следующие преобразования:
1) отображаем симметрично относительно оси Ox ,
2) растягиваем в 2 раза вдоль оси Oy .
последовательного выполнения следующих преобразований :
1) сжатиевдоль оси абсцисс в 2 раза ;
2) растяжение в 3 раза вдоль оси Oy ;
3) параллельный перенос на 1 единицу вверх вдоль оси ординат .
Уровень С .
Частная дидактическая цель : отработать навык построения графиков тригонометрических функций путем последовательного применения преобразований .
Методический комментарий для учащихся : укажите , какие преобразования нужно выполнить для построения графиков . Постройте графики .
1.
График функции получается из графика функциипутем последовательного выполнения следующих преобразований:
1) отображение симметрично относительно оси Ox ,
2) сжатие в 2 раза вдоль оси Oy;
3) параллельный перенос на 2 единицы вниз вдоль оси Оy.
2.
График функции получается из графика функции последовательного выполнения следующих преобразований : получается www . aiportal . ru / services / graph . html
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Графики тригонометрических функций Функция у = sin x, ее свойства Преобразование графиков тригонометрических функций путем параллельного переноса Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и расширения Для любознательных…
тригонометрические функции Графиком функции у = sin x является синусоида Свойства функции: D(y) =R Периодическая (Т=2 ) Нечетная (sin(-x)=-sin x) Нули функции: у=0, sin x=0 при х = n, n Z y=sin x
тригонометрические функции Свойства функции у = sin x 5. Промежутки знакопостоянства: У >0 при х (0+2 n ; +2 n) , n Z У
тригонометрические функции Свойства функции у= sin x 6. Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутках вида: - /2 +2 n ; / 2+2 n n Z y = sin x
тригонометрические функции Свойства функции у= sin x Промежутки монотонности: функция убывает на промежутках вида: /2 +2 n ; 3 / 2+2 n n Z y=sin x
тригонометрические функции Свойства функции у = sin x 7. Точки экстремума: Х мах = / 2 +2 n , n Z Х м in = - / 2 +2 n , n Z y=sin x
тригонометрические функции Свойства функции у = sin x 8 . Область значений: Е(у) = -1;1 y = sin x
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций График функции у = f (x +в) получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (-в) единиц вдоль оси абсцисс График функции у = f (x)+а получается из графика функции у = f(x) параллельным переносом на (а) единиц вдоль оси ординат
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций Постройте график Функции у = sin(x+ /4) вспомнить правила
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций y =sin (x+ /4) Постройте график функции: y=sin (x - /6)
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций y = sin x + Постройте график функции: y =sin (x - /6)
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций y= sin x + Постройте график функции: y=sin (x + /2) вспомнить правила
тригонометрические функции Графиком функции у = cos x является косинусоида Перечислите свойства функции у = cos x sin(x+ /2)=cos x
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при k>1) вдоль оси ординат График функции у = k f (x) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при 0
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y=sin2x y=sin4x Y=sin0.5x вспомнить правила
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его сжатия в k раз (при k>1) вдоль оси абсцисс График функции у = f (kx) получается из графика функции у = f(x) путем его растяжения в k раз (при 0
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y = cos2x y = cos 0.5x вспомнить правила
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения Графики функций у = -f (kx) и у=- k f(x) получаются из графиков функций у = f(kx) и y= k f(x) соответственно путем их зеркального отображения относительно оси абсцисс синус – функция нечетная, поэтому sin(-kx) = - sin (kx) косинус –функция четная, значит cos(-kx) = cos(kx)
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y = - sin3x y = sin3x вспомнить правила
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения y=2cosx y=-2cosx вспомнить правила
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения График функции у = f (kx+b) получается из графика функции у = f(x) путем его параллельного переноса на (-в /k) единиц вдоль оси абсцисс и путем сжатия в k раз (при k>1) или растяжения в k раз (при 0
тригонометрические функции Преобразование графиков тригонометрических функций путем сжатия и растяжения Y= cos(2x+ /3) y=cos(x+ /6) y= cos(2x+ /3) y= cos(2(x+ /6)) y= cos(2x+ /3) y= cos(2(x+ /6)) Y= cos(2x+ /3) y=cos2x вспомнить правила
тригонометрические функции Для любознательных… Посмотрите как выглядят графики некоторых других триг. функций: y = 1 / cos x или y=sec x (читается секонс) y = cosec x или y= 1/ sin x читается косеконс
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
ЦОР «Преобразование графиков тригонометрических функций» 10-11 классы
Раздел учебной программы:«Тригонометрические функции».Тип урока:цифровой образовательный ресурс комбинированного урока алгебры. По форме изложения материала:Комбинированный (универсальный) ЦОР со...
Методическая разработка урока по математике:«Преобразование графиков тригонометрических функций»
Методическая разработка урока по математике: «Преобразование графиков тригонометрических функций» для учащихся десятого класса. Урок сопровождается презентацией....
Т Е М А : Преобразования графиков тригонометрических функций с модулем.
Ц Е Л Ь : Рассмотрение получения графиков тригонометрических функций вида
y = f(|x|) ; y = | f (x )| .
Развивать математическую логику и внимание.
Х О Д У Р О К А:
Орг. момент: Объявление темы, целей и задач урока.
Учитель : Сегодня мы должны научиться строить графики функций y = sin |x|; y = cos|x|
Y = |A sin x +b| ; Y = |A cos x +b| используя наши знания о преобразованиях трансцендентных функций вида y = f(|x|) и y = |f(x)| . Вы спросите «Для чего это нужно?» Дело в том что свойства функций в этом случае изменяются, а вот как, это лучше всего прослеживается, как вы знаете, на графике.
Давайте вспомним как запишутся данные функции с использованием определения
Дети: f(|x|) =
|f(x)| =
Учитель : Итак, чтобы построить график функции у = f (|x|), если известен график функции
у = f { x ), нужно оставить на месте ту часть графика функции у = f (x ), которая
соответствует неотрицательной части области определения функции у = f (x ). Отразив эту
часть симметрично относительно оси у, получим другую часть графика, соответствующую
отрицательной части области определения.
Т. е. на графике это выглядит следующим образом: y = f (x)
(Данные графики строятся на доске. Дети в тетрадях)
Теперь исходя из этого построим график функций y = sin |x|; Y = |sin x | ; Y = |2 sin x + 2|
Рис 1. Y = sin x
Рис 2. Y = sin |x|
Теперь построим графики функций Y = |sin x | и Y = |2 sin x + 2|
Чтобы построить график функции у = \ f (x )\, если известен график функции у = f (x ), нужно оставить на месте ту его часть, где f (x ) > О, и симметрично отобразить относительно оси х другую его часть, где f (x ) < 0.