Bu dersimizde yeni bir konuya başlayacağız ve bize yeni bir kavram tanıtacağız: “çokgen”. Çokgenlerle ilgili temel kavramlara bakacağız: kenarlar, köşe açıları, dışbükeylik ve dışbükey olmama. Daha sonra bir çokgenin iç açılarının toplamına ilişkin teorem, bir çokgenin dış açılarının toplamına ilişkin teorem gibi en önemli gerçekleri kanıtlayacağız. Sonuç olarak, ilerideki derslerde ele alınacak olan çokgenlerin özel durumlarını incelemeye yaklaşacağız.

Konu: Dörtgenler

Ders: Çokgenler

Geometri dersinde geometrik şekillerin özelliklerini inceliyoruz ve bunların en basitlerini zaten inceledik: üçgenler ve daireler. Aynı zamanda bu şekillerin dik, ikizkenar ve düzgün üçgen gibi özel durumlarını da tartıştık. Şimdi daha genel ve karmaşık rakamlardan bahsetmenin zamanı geldi - çokgenler.

Özel bir durumla çokgenler zaten aşinayız - bu bir üçgen (bkz. Şekil 1).

Pirinç. 1. Üçgen

İsmin kendisi zaten bunun üç açılı bir figür olduğunu vurguluyor. Bu nedenle, çokgen birçoğu olabilir, yani. üçten fazla. Örneğin bir beşgen çizelim (bkz. Şekil 2), yani. beş köşeli şekil.

Pirinç. 2. Pentagon. Dışbükey Poligon

Tanım.Çokgen- birkaç noktadan (ikiden fazla) ve bunları sırayla bağlayan karşılık gelen sayıda bölümden oluşan bir şekil. Bu noktalara denir zirvelerçokgen ve bölümler partiler. Bu durumda, hiçbir iki bitişik kenar aynı düz çizgi üzerinde yer almaz ve bitişik olmayan iki kenar kesişmez.

Tanım.Düzenli çokgen tüm kenarları ve açıları eşit olan dışbükey bir çokgendir.

Herhangi çokgen Düzlemi iki alana ayırır: iç ve dış. İç alan da denir çokgen.

Yani örneğin beşgen denildiğinde hem iç bölgesinin tamamı, hem de sınırı kastediliyor. Ve iç bölge çokgenin içinde yer alan tüm noktaları içerir, yani. bu nokta aynı zamanda beşgeni de ifade etmektedir (bkz. Şekil 2).

Çokgenlere bazen bilinmeyen sayıda açının (n adet) varlığının genel durumunun dikkate alındığını vurgulamak için n-gonlar da denir.

Tanım. Poligon çevresi- çokgenin kenarlarının uzunluklarının toplamı.

Şimdi çokgen türlerini tanımamız gerekiyor. Bunlar bölünmüştür dışbükey Ve dışbükey olmayan. Örneğin, Şekil 2'de gösterilen çokgen. 2 dışbükeydir ve Şekil 2'de. 3 dışbükey olmayan.

Pirinç. 3. Dışbükey olmayan çokgen

Tanım 1. Çokgen isminde dışbükey, eğer kenarlarından herhangi biri boyunca düz bir çizgi çizerken, tamamı çokgen bu düz çizginin yalnızca bir tarafında yer alır. Dışbükey olmayan diğer herkes mi çokgenler.

Şekil 2'deki beşgenin herhangi bir kenarını uzatırken bunu hayal etmek kolaydır. 2 hepsi bu düz çizginin bir tarafında olacak, yani. dışbükeydir. Ancak Şekil 2'de bir dörtgen boyunca düz bir çizgi çizerken. 3'te onu iki parçaya böldüğünü zaten görüyoruz, yani. dışbükey değildir.

Ancak çokgenin dışbükeyliğinin başka bir tanımı daha var.

Tanım 2. Çokgen isminde dışbükey, eğer iç noktalarından herhangi ikisini seçip bunları bir doğru parçasına bağlarken, doğru parçasının tüm noktaları aynı zamanda çokgenin iç noktalarıysa.

Bu tanımın kullanımının bir gösterimi, Şekil 2'deki segmentlerin oluşturulması örneğinde görülebilir. 2 ve 3.

Tanım. Diyagonal Bir çokgenin bitişik olmayan iki köşesini birleştiren herhangi bir bölümdür.

Çokgenlerin özelliklerini açıklamak için açılarıyla ilgili en önemli iki teorem vardır: dışbükey çokgenin iç açılarının toplamı ile ilgili teorem Ve dışbükey bir çokgenin dış açılarının toplamı ile ilgili teorem. Şimdi onlara bakalım.

Teorem. Dışbükey bir çokgenin iç açılarının toplamı hakkında (N-gon).

Açılarının (kenarlarının) sayısı nerede?

Kanıt 1. Şekil 2'de tasvir edelim. 4 dışbükey n-gon.

Pirinç. 4. Dışbükey n-gon

Tepe noktasından mümkün olan tüm köşegenleri çiziyoruz. Bir n-gonu üçgenlere bölüyorlar çünkü çokgenin kenarlarının her biri, tepe noktasına bitişik kenarlar dışında bir üçgen oluşturur. Tüm bu üçgenlerin açılarının toplamının, n-gon'un iç açılarının toplamına tam olarak eşit olacağını şekilden görmek kolaydır. Herhangi bir üçgenin açılarının toplamı olduğuna göre, bir n-gon'un iç açılarının toplamı şöyle olur:

Q.E.D.

İspat 2. Bu teoremin başka bir ispatı da mümkündür. Şekil 2'de benzer bir n-gon çizelim. 5 ve iç noktalarından herhangi birini tüm köşelere bağlayın.

Pirinç. 5.

N-gon'un n üçgene (üçgen sayısı kadar kenar) bölünmesini elde ettik. Bütün açılarının toplamı, çokgenin iç açılarının toplamı ile iç noktadaki açıların toplamına eşittir ve bu da açıdır. Sahibiz:

Q.E.D.

Kanıtlanmış.

Kanıtlanmış teoreme göre, bir n-gon'un açılarının toplamının, kenar sayısına (n'ye) bağlı olduğu açıktır. Örneğin bir üçgende açıların toplamı dır. Bir dörtgende açıların toplamı vb.

Teorem. Dışbükey bir çokgenin dış açılarının toplamı hakkında (N-gon).

Açılarının (kenarlarının) sayısı nerede ve , …, dış açılardır.

Kanıt. Şekil 2'de dışbükey bir n-gon gösterelim. 6 ve iç ve dış açılarını belirtin.

Pirinç. 6. Belirlenmiş dış açılara sahip dışbükey n-gon

Çünkü Dış köşe iç köşeye bitişik olarak bağlanır, daha sonra ve benzer şekilde geri kalan dış köşeler için. Daha sonra:

Dönüşümler sırasında, bir n-gon'un iç açılarının toplamına ilişkin zaten kanıtlanmış teoremi kullandık.

Kanıtlanmış.

Kanıtlanmış teoremden ilginç bir gerçek çıkar: dışbükey bir n-gon'un dış açılarının toplamı şuna eşittir: açılarının (kenarlarının) sayısına göre. Bu arada, iç açıların toplamının aksine.

Kaynakça

1. Alexandrov M.S. ve diğerleri Geometri, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri, 8. sınıf. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Ev ödevi

Çokgen – Matematik 1. Sınıf (Moro)

Kısa Açıklama:

Geometri hakkında zaten çok şey biliyorsunuz ama muhtemelen daha fazlasını da öğrenmek istiyorsunuz. Bu nedenle Geometrinin muhteşem ülkesine yolculuğumuz devam ediyor. Segment olarak böyle bir figüre çok aşinasınız. Üç segment birbirine bağlanırsa ne olur? Doğru, kırık bir çizgi ortaya çıkacak. Kırık çizgilerin kapalı ya da açık olabileceğini elbette unutmayın. Üç parçayı kapalı bir çoklu çizgiye bağlarsanız şunu elde edersiniz... Tahmin ettiniz mi? Bir üçgen elde edeceksiniz. Kırık bir çizgiden başka şekiller elde etmek mümkün mü? Tabi ki yapabilirsin! Her şey kesik çizgideki bağlantı sayısına bağlıdır. Yani, örneğin, dört bağlantı varsa, bir dörtgen, beş bağlantı, bir beşgen vb. elde edersiniz. Şimdi kapalı bir kesikli çizginin oluşturduğu şekilleri tek kelimeyle nasıl adlandırabileceğimizi düşünün. İpucunu kullanın: Bu şekillerin tümü, farklı sayıda açı oluşturan bağlantılara sahiptir. Bu tür şekillere çokgen diyoruz. Çokgenler her adımda karşınıza çıkıyor. Yani masa kapağı dörtgen, bazı yol işaretleri üçgen, çiçek tarhları beşgen veya altıgen olabilir. “Çokgenler” konusu tükenmez. Onunla sadece birinci sınıfta tanışmayacaksınız, okulda geçirdiğiniz süre boyunca sürekli onunla tanışacaksınız. Çokgenlerle arkadaş olun!

Çokgen kavramı

Tanım 1

Çokgençiftler halinde birbirine bağlanan bölümlerden oluşan bir düzlemdeki geometrik bir şekildir, bitişik olanlar aynı düz çizgi üzerinde yer almaz.

Bu durumda segmentlere denir. çokgenin kenarları, ve onların uçları - çokgenin köşeleri.

Tanım 2

$n$-gon, $n$ köşeleri olan bir çokgendir.

Çokgen türleri

Tanım 3

Bir çokgen kenarlarından geçen herhangi bir doğrunun her zaman aynı tarafında yer alıyorsa bu çokgene denir. dışbükey(Şekil 1).

Şekil 1. Dışbükey çokgen

Tanım 4

Bir çokgen, kenarlarından geçen en az bir düz çizginin karşıt taraflarında yer alıyorsa, bu çokgene dışbükey olmayan denir (Şekil 2).

Şekil 2. Dışbükey olmayan çokgen

Bir çokgenin açılarının toplamı

Bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin bir teorem sunalım.

Teorem 1

Dışbükey bir üçgenin açılarının toplamı aşağıdaki şekilde belirlenir

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Kanıt.

Bize $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$ dışbükey çokgen verilsin. $A_1$ köşesini bu çokgenin diğer tüm köşelerine bağlayalım (Şekil 3).

Figür 3.

Bu bağlantıyla $n-2$ üçgeni elde ederiz. Açılarını toplayarak belirli bir -gon'un açılarının toplamını elde ederiz. Bir üçgenin açılarının toplamı $(180)^0,$'a eşit olduğundan, dışbükey bir üçgenin açılarının toplamının formülle belirlendiğini elde ederiz.

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Teorem kanıtlandı.

Dörtgen kavramı

$2$ tanımını kullanarak dörtgen tanımını tanıtmak kolaydır.

Tanım 5

Dörtgen, köşeleri $4$ olan bir çokgendir (Şekil 4).

Şekil 4. Dörtgen

Bir dörtgen için, dışbükey dörtgen ve dışbükey olmayan dörtgen kavramları benzer şekilde tanımlanır. Dışbükey dörtgenlerin klasik örnekleri kare, dikdörtgen, yamuk, eşkenar dörtgen, paralelkenardır (Şekil 5).

Şekil 5. Dışbükey dörtgenler

Teorem 2

Dışbükey bir dörtgenin açılarının toplamı $(360)^0$'dır

Kanıt.

$1$ Teoreminden, bir dışbükey -gon'un açılarının toplamının aşağıdaki formülle belirlendiğini biliyoruz:

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Bu nedenle, dışbükey bir dörtgenin açılarının toplamı şuna eşittir:

\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Teorem kanıtlandı.

Çokgenler 1. Çokgen nedir? 2. Bir çokgenin köşe sayısı, açı sayısı ve kenar sayısı arasında nasıl bir ilişki vardır? Cevap: Bir çokgenin köşe sayısı kenar sayısına ve açı sayısına eşittir. 3. İki beşgen ve iki altıgen birbirinden nasıl farklıdır? 4. Hangi çokgene düzenli denir? Cevap: Bütün kenarları ve bütün açıları eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir. Düzenli beşgen Düzenli altıgen Düzensiz beşgen Düzensiz altıgen

5. Hangi düzgün çokgenleri daha önce inceledik. Özellikleri nelerdir? 6. Şekil 1'de gösterilen çokgenlerin Şekil 2'de gösterilen çokgenlerden farkı nedir? Şekil 1 Şekil 2 Dışbükey çokgenler Dışbükey olmayan çokgenler (içbükey) Cevap: Çokgenin tamamı kenarlarından herhangi birinin bir tarafında yer alıyorsa dışbükeydir, değilse içbükeydir. 7. Bir çokgenin köşegeni nedir? 8. İki dörtgen çizin ve köşegenlerini çizin. 9. Ne fark ettiniz? Cevap: Dışbükey bir çokgen tüm köşegenlerini içerir, içbükey bir çokgen hepsini içermez!

Ödev 1. Not defterinizdeki notları öğrenin 82. sayfadaki 15 ve 18 numaralı görevleri tamamlayın, her şeyi ev not defterinize çizin! Ek aktivite Çalışma Kitabı 3, sayfa 38, görevler 29 ve 30

Problemlerin çözümü 1. Şekil 1'de gösterilen altıgen düzgün mü? Şekil 2'de gösterilen sekizgen düzgün mü, üçgen mi? Şekil 3 v vv v v 2. Şekil 3'te gösterilen çokgenlerden hangilerinin dışbükey, hangilerinin içbükey olduğunu belirleyin. Pirinç. 2

4. Bir üçgenin kaç köşegeni vardır? 5. Bir dörtgenin kaç köşegeni vardır? 6. Bir beşgenin kaç köşegeni vardır? 7. Bir altıgenin kaç köşegeni vardır? 8. Köşegen sayısı kenar sayısına eşit olan bir çokgen var mıdır? Sorunları çözme Köşegen yok İki köşegen Beş köşegen Dokuz köşegen Beşgen!

Bu geometrik şekiller bizi her yerde çevreliyor. Dışbükey çokgenler petek gibi doğal veya yapay (insan yapımı) olabilir. Bu figürler çeşitli kaplama, resim, mimari, mücevher vb. üretiminde kullanılmaktadır. Dışbükey çokgenler, tüm noktalarının, bu geometrik şeklin bir çift bitişik köşesinden geçen düz bir çizginin bir tarafında yer alması özelliğine sahiptir. Başka tanımlar da var. Dışbükey çokgen, kenarlarından birini içeren herhangi bir düz çizgiye göre tek bir yarım düzlemde yer alan bir çokgendir.

Temel geometri dersinde her zaman yalnızca basit çokgenler dikkate alınır. Bunların tüm özelliklerini anlamak için onların doğasını anlamak gerekir. Öncelikle uçları çakışan herhangi bir çizgiye kapalı denildiğini anlamalısınız. Ayrıca, onun oluşturduğu şekil çeşitli konfigürasyonlara sahip olabilir. Çokgen, komşu bağlantıların aynı düz çizgi üzerinde yer almadığı basit, kapalı, kesikli bir çizgidir. Bağlantıları ve köşeleri sırasıyla bu geometrik şeklin kenarları ve köşeleridir. Basit bir sürekli çizginin kendi kendine kesişimleri olmamalıdır.

Bir çokgenin köşeleri, kenarlarından birinin uçlarını temsil ediyorsa bitişik olarak adlandırılır. N'inci sayıda köşeye ve dolayısıyla n'inci kenar sayısına sahip olan geometrik şekle n-gon adı verilir. Kesikli çizginin kendisine bu geometrik şeklin sınırı veya konturu denir. Çokgen bir düzlem veya düz çokgen, kendisi tarafından sınırlanan herhangi bir düzlemin sonlu kısmıdır. Bu geometrik şeklin bitişik kenarları, bir tepe noktasından çıkan kesikli bir çizginin parçalarıdır. Çokgenin farklı köşelerinden geliyorlarsa bitişik olmayacaklardır.

Dışbükey çokgenlerin diğer tanımları

Temel geometride, hangi poligonun dışbükey olarak adlandırıldığını gösteren, anlam bakımından eşdeğer birkaç tanım daha vardır. Üstelik bu formülasyonların hepsi aynı derecede doğrudur. Bir çokgen aşağıdaki durumlarda dışbükey kabul edilir:

İçerisindeki herhangi iki noktayı birbirine bağlayan her parça tamamen onun içindedir;

Bütün köşegenleri onun içindedir;

Herhangi bir iç açı 180°'yi aşmaz.

Bir çokgen her zaman bir düzlemi 2 parçaya böler. Bunlardan biri sınırlıdır (bir daire içine alınabilir), diğeri sınırsızdır. Birincisi bu geometrik şeklin iç bölgesi, ikincisi ise dış bölgesidir. Bu çokgen, birkaç yarım düzlemin kesişimidir (başka bir deyişle ortak bileşen). Ayrıca çokgene ait noktalarda uçları olan her parça tamamen kendisine aittir.

Dışbükey çokgen çeşitleri

Dışbükey çokgenin tanımı, birçok türün olduğunu göstermez. Üstelik her birinin belirli kriterleri var. Bu nedenle, iç açısı 180°'ye eşit olan dışbükey çokgenlere zayıf dışbükey denir. Üç köşesi olan dışbükey geometrik şekle üçgen, dörde dörtgen, beşe beşgen vb. denir. Dışbükey n-gonların her biri aşağıdaki en önemli gereksinimi karşılar: n, 3'e eşit veya daha büyük olmalıdır. Her biri üçgenlerin dışbükeydir. Tüm köşelerin aynı daire üzerinde yer aldığı bu türden geometrik bir şekle daire içinde yazılı denir. Dışbükey bir çokgen, daireye yakın tüm kenarları ona dokunuyorsa, çevrelenmiş olarak adlandırılır. İki çokgenin ancak süperpozisyonla bir araya getirilebiliyorsa uyumlu olduğu söylenir. Düzlem çokgen, bu geometrik şekille sınırlanan çokgen bir düzlemdir (bir düzlemin parçası).

Düzenli dışbükey çokgenler

Düzgün çokgenler, açıları ve kenarları eşit olan geometrik şekillerdir. İçlerinde her bir köşeden aynı mesafede bulunan bir 0 noktası vardır. Bu geometrik şeklin merkezi denir. Bu geometrik şeklin merkezini köşe noktalarına bağlayan bölümlere apotem, 0 noktasını kenarlara bağlayan bölümlere ise yarıçap denir.

Düzenli bir dörtgen bir karedir. Düzenli üçgene eşkenar üçgen denir. Bu tür şekiller için şu kural vardır: Dışbükey bir çokgenin her açısı 180° * (n-2)/ n'ye eşittir,

burada n, bu dışbükey geometrik şeklin köşe sayısıdır.

Herhangi bir normal çokgenin alanı aşağıdaki formülle belirlenir:

burada p, belirli bir çokgenin tüm kenarlarının toplamının yarısına eşittir ve h, kısa çizginin uzunluğuna eşittir.

Dışbükey çokgenlerin özellikleri

Dışbükey çokgenlerin belirli özellikleri vardır. Dolayısıyla, böyle bir geometrik şeklin herhangi 2 noktasını birleştiren bir segmentin mutlaka içinde bulunması gerekir. Kanıt:

P'nin belirli bir dışbükey çokgen olduğunu varsayalım. P'ye ait olan A, B gibi 2 rastgele nokta alıyoruz. Dışbükey çokgenin mevcut tanımına göre bu noktalar, P'nin herhangi bir tarafını içeren çizginin bir tarafında bulunur. Dolayısıyla AB de aynı zamanda bu özelliğe sahiptir ve P'de bulunur. Dışbükey bir çokgen, köşelerinden birinden çizilen tüm köşegenleri kullanarak onu birkaç üçgene bölmek her zaman mümkündür.

Dışbükey geometrik şekillerin açıları

Dışbükey bir çokgenin açıları, kenarlarının oluşturduğu açılardır. İç açılar verilen geometrik şeklin iç bölgesinde bulunur. Bir köşede buluşan kenarlarının oluşturduğu açıya dışbükey çokgenin açısı denir. Belirli bir geometrik şeklin iç açılarına sahip olanlara dış denir. İçinde bulunan dışbükey bir çokgenin her açısı şuna eşittir:

burada x dış açının boyutudur. Bu basit formül bu türdeki tüm geometrik şekillere uygulanır.

Genel olarak dış açılar için şu kural geçerlidir: dışbükey bir çokgenin her açısı, 180° ile iç açının boyutu arasındaki farka eşittir. -180° ile 180° arasında değişen değerlere sahip olabilir. Bu nedenle iç açı 120° olduğunda dış açı 60° olur.

Dışbükey çokgenlerin açılarının toplamı

Dışbükey bir çokgenin iç açılarının toplamı aşağıdaki formülle belirlenir:

burada n, n-gon'un köşe sayısıdır.

Dışbükey bir çokgenin açılarının toplamı oldukça basit bir şekilde hesaplanır. Böyle herhangi bir geometrik şekli düşünün. Dışbükey bir çokgenin içindeki açıların toplamını belirlemek için köşelerinden birini diğer köşelere bağlamanız gerekir. Bu işlem sonucunda (n-2) üçgen elde edilir. Herhangi bir üçgenin açılarının toplamının her zaman 180°'ye eşit olduğu bilinmektedir. Herhangi bir çokgendeki sayıları (n-2) olduğundan, böyle bir şeklin iç açılarının toplamı 180° x (n-2)'ye eşittir.

Belirli bir dışbükey geometrik şekil için bir dışbükey çokgenin açılarının toplamı, yani herhangi iki iç ve bitişik dış açı, her zaman 180°'ye eşit olacaktır. Buna dayanarak tüm açılarının toplamını belirleyebiliriz:

İç açıların toplamı 180°* (n-2)'dir. Buna dayanarak, belirli bir şeklin tüm dış açılarının toplamı aşağıdaki formülle belirlenir:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Herhangi bir dışbükey çokgenin dış açılarının toplamı her zaman 360° olacaktır (kenar sayısına bakılmaksızın).

Dışbükey bir çokgenin dış açısı genellikle 180° ile iç açının değeri arasındaki farkla temsil edilir.

Dışbükey çokgenin diğer özellikleri

Bu geometrik şekillerin temel özelliklerine ek olarak, onları manipüle ederken ortaya çıkan başka özellikleri de vardır. Böylece, herhangi bir çokgen birkaç dışbükey n-gona bölünebilir. Bunu yapmak için her bir kenarını devam ettirmeniz ve bu geometrik şekli bu düz çizgiler boyunca kesmeniz gerekiyor. Herhangi bir çokgeni, her parçanın köşeleri tüm köşeleriyle çakışacak şekilde birkaç dışbükey parçaya bölmek de mümkündür. Böyle bir geometrik şekilden, tüm köşegenleri bir köşeden çizerek çok basit bir şekilde üçgenler oluşturabilirsiniz. Böylece, herhangi bir çokgen sonuçta belirli sayıda üçgene bölünebilir ve bu, bu tür geometrik şekillerle ilgili çeşitli problemlerin çözümünde çok yararlı olduğu ortaya çıkar.

Dışbükey bir çokgenin çevresi

Çokgenin kenarları olarak adlandırılan kesikli çizgi parçaları çoğunlukla şu harflerle gösterilir: ab, bc, cd, de, ea. Bunlar a, b, c, d, e köşelerine sahip geometrik bir şeklin kenarlarıdır. Bu dışbükey çokgenin tüm kenarlarının uzunluklarının toplamına çevresi denir.

Bir çokgenin çemberi

Dışbükey çokgenler yazılabilir veya çevrelenebilir. Bu geometrik şeklin her tarafına dokunan daireye, içine yazılı denir. Böyle bir çokgene sınırlı denir. Bir çokgen içine yazılan bir dairenin merkezi, belirli bir geometrik şekil içindeki tüm açıların açıortaylarının kesişme noktasıdır. Böyle bir çokgenin alanı şuna eşittir:

burada r, yazılı dairenin yarıçapıdır ve p, verilen çokgenin yarı çevresidir.

Bir çokgenin köşelerini içeren daireye çevrelenmiş daire denir. Bu durumda, bu dışbükey geometrik şekle yazılı denir. Böyle bir çokgenin etrafında tanımlanan dairenin merkezi, tüm kenarların dik açıortayları olarak adlandırılan kesişme noktasıdır.

Dışbükey geometrik şekillerin köşegenleri

Dışbükey bir çokgenin köşegenleri, bitişik olmayan köşeleri birleştiren bölümlerdir. Her biri bu geometrik şeklin içinde yer alıyor. Böyle bir n-gon'un köşegen sayısı aşağıdaki formülle belirlenir:

N = n (n - 3)/ 2.

Dışbükey bir çokgenin köşegen sayısı temel geometride önemli bir rol oynar. Her bir dışbükey çokgenin bölünebileceği üçgen sayısı (K) aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

Dışbükey bir çokgenin köşegen sayısı her zaman köşe sayısına bağlıdır.

Dışbükey bir çokgeni bölümlendirme

Bazı durumlarda geometrik problemleri çözmek için dışbükey bir çokgeni kesişmeyen köşegenlere sahip birkaç üçgene bölmek gerekir. Bu problem belli bir formül çıkarılarak çözülebilir.

Sorunun tanımı: Dışbükey bir n-gon'un belirli bir bölümünü, köşegenleri yalnızca bu geometrik şeklin köşelerinde kesişen birkaç üçgene doğru olarak adlandıralım.

Çözüm: P1, P2, P3..., Pn'nin bu n-gon'un köşeleri olduğunu varsayalım. Xn sayısı bölümlerinin sayısıdır. Pi Pn geometrik şeklinin ortaya çıkan köşegenini dikkatle inceleyelim. Düzenli bölümlerin herhangi birinde P1 Pn, 1 olan belirli bir P1 Pi Pn üçgenine aittir.

i = 2, her zaman P2 Pn köşegenini içeren düzenli bölümlerin bir grubu olsun. İçerisine dahil edilen bölümlerin sayısı, (n-1)-gon P2 P3 P4... Pn'nin bölüm sayısıyla çakışmaktadır. Başka bir deyişle Xn-1'e eşittir.

Eğer i = 3 ise, bu diğer bölüm grubu her zaman P3 P1 ve P3 Pn köşegenlerini içerecektir. Bu durumda, bu grupta yer alan normal bölümlerin sayısı, (n-2)-gon P3 P4... Pn'nin bölüm sayısıyla çakışacaktır. Başka bir deyişle Xn-2'ye eşit olacaktır.

i = 4 olsun, o zaman üçgenler arasında doğru bölüm kesinlikle P1 P2 P3 P4 dörtgenine, (n-3)-gon P4 P5... Pn'ye komşu olacak P1 P4 Pn üçgenini içerecektir. Böyle bir dörtgenin düzenli bölüm sayısı X4'tür ve bir (n-3)-gon'un bölüm sayısı Xn-3'tür. Yukarıdakilerin hepsine dayanarak, bu grupta yer alan toplam normal bölüm sayısının Xn-3 X4'e eşit olduğunu söyleyebiliriz. i = 4, 5, 6, 7... olan diğer gruplar Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7... normal bölümlerini içerecektir.

i = n-2 olsun, o zaman bu gruptaki doğru bölüm sayısı, i=2 olan gruptaki bölüm sayısıyla çakışacaktır (başka bir deyişle Xn-1'e eşit).

X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2... olduğuna göre, bir dışbükey çokgenin tüm bölümlerinin sayısı şuna eşittir:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

İçeride bir köşegenle kesişen normal bölümlerin sayısı

Özel durumları kontrol ederken, dışbükey n-gonların köşegen sayısının, bu şeklin (n-3)'e tüm bölümlerinin çarpımına eşit olduğu varsayımına varılabilir.

Bu varsayımın kanıtı: P1n = Xn * (n-3) olduğunu varsayalım, o zaman herhangi bir n-gon (n-2)-üçgenlere bölünebilir. Ayrıca bunlardan bir (n-3)-dörtgeni oluşturulabilir. Bununla birlikte her dörtgenin bir köşegeni olacaktır. Bu dışbükey geometrik şekilde iki köşegen çizilebildiğinden, bu, herhangi bir (n-3)-dörtgeninde ilave (n-3) köşegen çizilebileceği anlamına gelir. Buna dayanarak, herhangi bir düzenli bölmede bu problemin koşullarını karşılayan (n-3) köşegenlerini çizmenin mümkün olduğu sonucuna varabiliriz.

Dışbükey çokgenlerin alanı

Çoğu zaman, çeşitli temel geometri problemlerini çözerken, dışbükey bir çokgenin alanını belirlemek gerekli hale gelir. (Xi.Yi), i = 1,2,3... n'nin kendi kesişimleri olmayan bir çokgenin tüm komşu köşelerinin koordinat dizisi olduğunu varsayalım. Bu durumda alanı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

S = ½ (∑ (X ben + X ben + 1) (Y ben + Y ben + 1))

burada (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1).