“Siyaset alanı” - Sosyal aktörlerin devlet iktidarına ilişkin ilişkileri. Bilimsel ve teorik. Politika ve ekonomi arasındaki etkileşim süreci. Devletle birlikte. Sosyal ilişkilerin düzenlenmesi sosyal çıkarlara bağlıdır. Siyaset ve ahlak arasındaki etkileşim süreci. Devletin gücü, ikna, teşvik.

“Prizma geometrisi” - ABCDA1B1C1D1 dik dörtgen prizma verilmiştir. Öklid muhtemelen bunu bir mesele olarak değerlendirdi pratik kılavuzlar geometride. Düz prizma, yan kenarı tabana dik olan prizmadır. Geometride prizma. 2 cildin özelliğine göre V=V1+V2 yani V=SABD h+SBDC h=(SABD+SBDC) h. Yani A1B1C1 ve ABC üçgenlerinin üç tarafı eşittir.

“Prizmanın hacmi” - Düz prizmanın hacmi nasıl bulunur? Orijinal prizmanın hacmi S · h çarpımına eşittir. Doğrudan prizma teoremini kanıtlamanın temel adımları? Orijinal prizmanın tabanının S alanı. ABC üçgeninin yüksekliğinin çizimi. Görev. Düz prizma. Ders hedefleri. Prizma kavramı. Düz prizmanın hacmi. Sorunu çözmek. Prizma, yüksekliği h olan düz üçgen prizmalara bölünebilir.

“Küre yüzeyi” - Mars. Top top mu? Top ve küre. Toprak. Ansiklopedi. Okulumuzun beyzbol takımını destekliyoruz. Venüs. Uranüs. Resimde top var mı? Biraz tarih. Atmosfer. Biraz araştırma yapmaya karar verdim……. Satürn. Soruları cevaplamaya hazır mısın?

Bir küre etrafında çevrelenmiş çokyüzlü Bir çokyüzlünün tüm yüzlerinin düzlemleri küreye değiyorsa, bir kürenin etrafında çevrelenmiş çokyüzlü denir. Kürenin kendisinin çokyüzlüye yazılı olduğu söyleniyor. Teorem. Bir küre, ancak ve ancak tabanına bir daire çizilebiliyorsa ve prizmanın yüksekliği bu dairenin çapına eşitse prizmanın içine yazılabilir. Teorem. Herhangi bir üçgen piramite bir küre sığdırabilirsiniz, hem de yalnızca bir tane.

Alıştırma 1 Kareyi silin ve küpün üst ve alt yüzlerini temsil eden iki paralelkenar çizin. Köşelerini segmentlerle bağlayın. Bir küpün içine yazılmış bir kürenin görüntüsünü elde edin. Önceki slaytta olduğu gibi küpün içine yazılmış bir küre çizin. Bunu yapmak için, bir daire ve bir karenin 4 kez sıkıştırılmasıyla elde edilen paralelkenarın içine yazılmış bir elips çizin. Kürenin kutuplarını ve elipsin ve paralelkenarın teğet noktalarını işaretleyin.

Alıştırma 1 Tabanında kenarı 1 ve bir eşkenar dörtgen olan dik dörtgen prizmanın içine bir küre yazılmıştır. dar açı 60°. Kürenin yarıçapını ve prizmanın yüksekliğini bulun. Çözüm. Kürenin yarıçapı DG tabanının yüksekliğinin yarısına eşittir, yani. Prizmanın yüksekliği kürenin çapına eşittir, yani.

Alıştırma 4 Tabanında çevresi 4 ve alanı 2 olan bir dik dörtgen prizmanın içine bir küre yazılmıştır. Yazılı kürenin yarıçapını r bulun. Çözüm. Kürenin yarıçapının, prizmanın tabanında yazılı olan dairenin yarıçapına eşit olduğuna dikkat edin. Bir çokgenin içine yazılan bir dairenin yarıçapının, bu çokgenin alanının yarı çevresine bölünmesine eşit olmasından yararlanalım. Anlıyoruz,

Alıştırma 3 Tabanın kenarı 2 olan ve tabandaki dihedral açıları 60° olan düzgün üçgen piramitin içine yazılmış bir kürenin yarıçapını bulun. Çözüm. Yazılı kürenin merkezinin, piramidin tabanındaki dihedral açıların iki taraflı düzlemlerinin kesişme noktası olması gerçeğinden yararlanalım. OE küresinin yarıçapı için aşağıdaki eşitlik geçerlidir: Bu nedenle,

Alıştırma 4 Yan kenarları 1'e ve tepe noktasındaki düzlem açıları 90 dereceye eşit olan, düzenli bir üçgen piramit içine yazılmış bir kürenin yarıçapını bulun. Cevap: Çözüm. Dört yüzlü SABC'de elimizde: SD = DE = SE = SOF ve SDE üçgenlerinin benzerliğinden, bulduğumuz denklemi çözerek bir denklem elde ederiz.

Alıştırma 1 Tüm kenarları 1'e eşit olan, düzgün bir dörtgen piramit içine yazılmış bir kürenin yarıçapını bulun. Bir üçgenin içine yazılmış bir dairenin r yarıçapı için formülün geçerli olduğu gerçeğini kullanalım: r = S/ p, burada S alan, p üçgenin yarı çevresidir. Bizim durumumuzda S = p = Çözüm. Kürenin yarıçapı, SE = SF = EF=1, SG = olan SEF üçgeninde yazılı dairenin yarıçapına eşittir. Bu nedenle,

Alıştırma 2 Taban tarafı 1 ve yan kenarı 2 olan, düzgün dörtgen piramit içine yazılmış bir kürenin yarıçapını bulun. Bir üçgenin içine yazılmış bir dairenin r yarıçapı için aşağıdaki formülü kullanalım. şunu tutar: r = S/p, burada S – alan, p – üçgenin yarı çevresi. Bizim durumumuzda S = p = Çözüm. Kürenin yarıçapı, SE = SF = EF=1, SG = olan SEF üçgeninde yazılı dairenin yarıçapına eşittir. Bu nedenle,

Alıştırma 3 Tabanın kenarı 2 ve tabandaki dihedral açılar 60° olan, düzgün bir dörtgen piramit içine yazılmış bir kürenin yarıçapını bulun. Çözüm. Yazılı kürenin merkezinin, piramidin tabanındaki dihedral açıların açıortay düzlemlerinin kesişme noktası olmasından yararlanalım. OG küresinin yarıçapı için aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

Alıştırma 4 Birim küre düzgün bir dörtgen piramit içine yazılmıştır, tabanın kenarı 4'tür. Piramidin yüksekliğini bulun. Bir üçgenin içine yazılan bir dairenin r yarıçapı için formülün geçerli olduğu gerçeğini kullanalım: r = S/p, burada S alan, p ise üçgenin yarı çevresidir. Bizim durumumuzda S = 2h, p = Çözüm. Piramidin SG yüksekliğini h olarak gösterelim. Kürenin yarıçapı, SE = SF = EF=4 olan SEF üçgeninde yazılı dairenin yarıçapına eşittir. Sonuç olarak, bulduğumuz bir eşitliğimiz var

Alıştırma 1 Taban kenarları 1'e ve yan kenarları 2'ye eşit olan, düzenli bir altıgen piramit içine yazılmış bir kürenin yarıçapını bulun. Bir üçgenin içine yazılan bir dairenin r yarıçapı için, olduğu gerçeğini kullanalım, formül şunu tutar: r = S/p, burada S – alan, p – üçgenin yarı çevresi. Bizim durumumuzda S = p = Dolayısıyla Çözüm. Kürenin yarıçapı, SP = SQ = PQ= SH = olan SPQ üçgeninde yazılı dairenin yarıçapına eşittir.

Alıştırma 2 Taban kenarları 1'e ve tabandaki dihedral açıları 60°'ye eşit olan düzgün bir altıgen piramit içine yazılmış bir kürenin yarıçapını bulun. Çözüm. Yazılı kürenin merkezinin, piramidin tabanındaki dihedral açıların açıortay düzlemlerinin kesişme noktası olmasından yararlanalım. OH küresinin yarıçapı için eşitlik geçerlidir: Bu nedenle,
Alıştırma Birim oktahedron içine yazılan bir kürenin yarıçapını bulun. Cevap: Çözüm. Kürenin yarıçapı, eşkenar dörtgen SESF'de yazılı dairenin yarıçapına eşittir, burada SE = SF = EF=1, SO = O zaman eşkenar dörtgenin E tepe noktasından indirilen yüksekliği, gerekli olana eşit olacaktır. yarıçap yüksekliğin yarısına eşittir ve O'ya eşittir

Alıştırma Bir birim ikosahedron içine yazılan bir kürenin yarıçapını bulun. Çözüm. Çevreleyen kürenin OA yarıçapının eşit olduğu ve kenarı 1 olan bir eşkenar üçgen etrafındaki çevrelenen dairenin AQ yarıçapının eşit olduğu gerçeğini kullanalım. OAQ dik üçgenine uygulanan Pisagor teoremini kullanarak Egzersiz Bulmayı elde ederiz. dodecahedron biriminde yazılı kürenin yarıçapı. Çözüm. Çevreleyen kürenin OF yarıçapının eşit olduğu ve kenarı 1 olan bir eşkenar beşgen etrafında çevrelenen dairenin FQ yarıçapının eşit olduğu gerçeğinden yararlanalım. OFQ dik üçgenine uygulanan Pisagor teoremi ile şunu elde ederiz:

Alıştırma 1 Bir küreyi kesik bir tetrahedrona sığdırmak mümkün müdür? Çözüm. Kesikli bir tetrahedronda yazılı bir kürenin O merkezinin, kesikli bir tetrahedronda yarı yazılı bir kürenin merkeziyle çakışan bir tetrahedronda yazılı bir kürenin merkeziyle çakışması gerektiğine dikkat edin. O noktasından altıgen ve üçgen yüzlere kadar d 1, d 2 mesafeleri Pisagor teoremi kullanılarak hesaplanır: burada R, yarı yazılı bir kürenin yarıçapıdır, r 1, r 2, bir altıgen ve üçgen içine yazılmış dairelerin yarıçapıdır, sırasıyla. r 1 > r 2 olduğuna göre d 1 r 2, sonra d 1

Başlık " Çeşitli görevlerçokyüzlü, silindir, koni ve küre üzerine” konusu 11.sınıf geometri dersinin en zor derslerinden biridir. Geometrik problemleri çözmeden önce genellikle problem çözerken atıfta bulunulan teorinin ilgili bölümlerini incelerler. S. Atanasyan ve diğerlerinin bu konuyla ilgili ders kitabında (s. 138) yalnızca bir küre etrafında tanımlanan çokyüzlü, küre içine yazılan çokyüzlü, çokyüzlüye yazılan küre ve bir küre etrafında tanımlanan bir kürenin tanımları bulunabilir. çokyüzlü. Bu ders kitabı için metodolojik öneriler (bkz. S.M. Sahakyan ve V.F. Butuzov'un “10-11. Sınıflarda Geometri Çalışması” kitabı, s. 159), 629-646 numaralı problemleri çözerken hangi vücut kombinasyonlarının dikkate alındığını söylüyor ve dikkat çekiyor "Belirli bir problemi çözerken, öncelikle öğrencilerin durumda belirtilen cisimlerin göreceli konumlarını iyi anlamalarını sağlamak gerekir." 638(a) ve 640 numaralı problemlerin çözümü aşağıdadır.

Yukarıdakilerin tümü ve öğrenciler için en zor görevlerin topun diğer cisimlerle birleşimi olduğu gerçeği göz önüne alındığında, ilgili teorik ilkelerin sistematize edilmesi ve öğrencilere aktarılması gerekmektedir.

Tanımlar.

1. Bir çokyüzlüye yazılı bir top denir ve topun yüzeyi çokyüzlünün tüm yüzlerine temas ediyorsa, bir topun etrafında tanımlanan bir çokyüzlü denir.

2. Topun yüzeyi çokyüzlünün tüm köşelerinden geçiyorsa, bir çokyüzlü etrafında çevrelenmiş bir top ve bir topun içine yazılmış bir çokyüzlü denir.

3. Bir topun, bir silindirin içine yazılı olduğu söylenir, kesik koni (koni) ve bir silindirin, kesik koninin (koni), eğer topun yüzeyi tabanlara (taban) ve tüm silindirin generatrikleri, kesik koni (koni).

(Bu tanımdan, bir topun büyük dairesinin bu cisimlerin herhangi bir eksenel bölümüne yazılabileceği sonucu çıkar).

4. Taban daireleri (taban dairesi ve tepe noktası) topun yüzeyine aitse, topun bir silindir, kesik bir koni (koni) etrafında çevrelendiği söylenir.

(Bu tanımdan, bu gövdelerin herhangi bir eksenel bölümünün etrafında topun daha büyük bir dairesinin dairesinin tanımlanabileceği sonucu çıkar).

Topun merkezinin konumu hakkında genel notlar.

1. Bir çokyüzlünün içine yazılmış bir topun merkezi, çokyüzlünün tüm dihedral açılarının açıortay düzlemlerinin kesişme noktasında bulunur. Sadece polihedronun içinde bulunur.

2. Bir çokyüzlünün çevrelediği bir topun merkezi, çokyüzlünün tüm kenarlarına dik olan ve orta noktalarından geçen düzlemlerin kesişme noktasında yer alır. Polihedronun içine, yüzeyine veya dışına yerleştirilebilir.

Küre ve prizmanın birleşimi.

1. Düz bir prizma içine yazılmış bir top.

Teorem 1. Düz bir prizmaya bir küre yazılabilir, ancak ve ancak prizmanın tabanına bir daire çizilebilirse ve prizmanın yüksekliği bu dairenin çapına eşitse.

Sonuç 1. Dik prizma içine yazılmış bir kürenin merkezi, tabana yazılı dairenin merkezinden geçen prizmanın yüksekliğinin orta noktasında yer alır.

Sonuç 2.Özellikle bir top düz çizgilerle yazılabilir: H = 2r koşulu altında üçgen, düzenli, dörtgen (tabanın karşıt kenarlarının toplamı birbirine eşittir), burada H topun yüksekliğidir. prizma, r tabanda yazılı dairenin yarıçapıdır.

2. Bir prizma etrafında çevrelenmiş bir küre.

Teorem 2. Bir prizmanın etrafında bir küre, ancak ve ancak prizmanın düz olması ve tabanının etrafında bir dairenin tanımlanması durumunda tanımlanabilir.

Sonuç 1. Düz bir prizmanın çevresine çevrelenmiş bir kürenin merkezi, tabanın çevresine çevrelenmiş bir çemberin merkezinden çizilen prizmanın yüksekliğinin orta noktasında yer alır.

Sonuç 2.Özellikle bir top şu şekilde tanımlanabilir: dik üçgen prizmanın yakınında, düzenli prizmanın yakınında, dikdörtgen paralel yüzlünün yakınında, tabanın zıt açılarının toplamının 180 dereceye eşit olduğu sağ dörtgen prizmanın yakınında.

L.S. Atanasyan'ın ders kitabından top ve prizma kombinasyonu için 632, 633, 634, 637(a), 639(a,b) numaralı problemler önerilebilir.

Bir topun bir piramit ile birleşimi.

1. Bir piramidin yakınında tanımlanan bir top.

Teorem 3. Bir topun bir piramidin etrafında tanımlanması ancak ve ancak tabanının etrafında bir daire tanımlanabiliyorsa mümkündür.

Sonuç 1. Bir piramidin çevrelediği bir kürenin merkezi, bu tabanın çevrelediği bir dairenin merkezinden geçen, piramidin tabanına dik bir düz çizgi ile piramidin ortasından çizilen herhangi bir yan kenara dik bir düzlemin kesiştiği noktada yer alır. bu kenar.

Sonuç 2. Piramidin yan kenarları birbirine eşitse (veya taban düzlemine eşit derecede eğimliyse), bu durumda böyle bir piramidin etrafında bir top tanımlanabilir. Bu durumda bu topun merkezi, piramidin kesişme noktasında yer alır. piramidin yüksekliği (veya uzantısı), yan kenarın simetri ekseni, yan kenar ve yükseklik düzleminde yer alır.

Sonuç 3.Özellikle bir top şu şekilde tanımlanabilir: üçgen bir piramidin yakınında, düzenli bir piramidin yakınında, karşıt açıların toplamı 180 derece olan dörtgen bir piramidin yakınında.

2. Piramidin içine yazılmış bir top.

Teorem 4. Piramidin yan yüzleri tabana eşit eğimliyse, böyle bir piramidin içine bir top yazılabilir.

Sonuç 1. Yan yüzleri tabana eşit eğimli olan bir piramitte yazılı bir topun merkezi, piramidin yüksekliğinin, piramidin tabanındaki herhangi bir dihedral açının doğrusal açısının açıortayı ile kesişme noktasında yer alır. piramidin tepesinden çizilen yan yüzün yüksekliğidir.

Sonuç 2. Bir topu normal bir piramite sığdırabilirsiniz.

L.S. Atanasyan'ın ders kitabından topun piramit ile birleşimi için 635, 637(b), 638, 639(c), 640, 641 numaralı problemler önerilebilir.

Bir topun kesik bir piramit ile birleşimi.

1. Düzgün kesik bir piramit etrafında çevrelenmiş bir top.

Teorem 5. Herhangi bir düzenli kesik piramidin etrafında bir küre tanımlanabilir. (Bu koşul yeterlidir ancak gerekli değildir)

2. Düzenli kesik piramit içine yazılmış bir top.

Teorem 6. Bir top, ancak ve ancak piramidin özünün tabanların özlerinin toplamına eşit olması durumunda düzenli bir kesik piramite yazılabilir.

L.S. Atanasyan’ın ders kitabında (No. 636) topun kesik piramitle birleştirilmesinde tek bir sorun vardır.

Topun yuvarlak gövdelerle birleşimi.

Teorem 7. Bir top, bir silindirin, kesik bir koninin (düz dairesel) veya bir koninin etrafında tanımlanabilir.

Teorem 8. Bir top (düz dairesel) bir silindirin içine ancak ve ancak silindirin eşkenar olması durumunda yazılabilir.

Teorem 9. Herhangi bir koniye (düz dairesel) bir top yerleştirebilirsiniz.

Teorem 10. Bir top, kesik bir koniye (düz dairesel) ancak ve ancak onun generatrix'i tabanların yarıçaplarının toplamına eşitse yazılabilir.

L.S. Atanasyan'ın ders kitabından topun yuvarlak gövdelerle birleşimi için 642, 643, 644, 645, 646 numaralı problemler önerilebilir.

Bu konuyla ilgili materyali daha başarılı bir şekilde incelemek için derslere sözlü görevlerin dahil edilmesi gerekmektedir:

1. Küpün kenarı a'ya eşittir. Küpün içine yazılan ve etrafı çevrelenen topların yarıçaplarını bulun. (r = a/2, R = a3).

2. Aşağıdakilerin etrafında bir küreyi (topu) tanımlamak mümkün müdür: a) bir küp; b) dikdörtgen paralel yüzlü; c) tabanında bir dikdörtgen bulunan eğimli bir paralel boru; d) düz paralel borulu; e) eğimli bir paralel yüzlü mü? (a) evet; B: Evet; c) hayır; d) hayır; hayır)

3. Herhangi bir üçgen piramidin etrafında bir kürenin tanımlanabileceği doğru mudur? (Evet)

4. Herhangi bir dörtgen piramidin etrafındaki küreyi tanımlamak mümkün müdür? (Hayır, herhangi bir dörtgen piramidin yakınında değil)

5. Bir piramidin etrafındaki küreyi tanımlayabilmesi için hangi özelliklere sahip olması gerekir? (Tabanında, çevresinde bir dairenin tanımlanabileceği bir çokgen bulunmalıdır)

6. Yan kenarı tabana dik olan bir kürenin içine bir piramit yazılmıştır. Bir kürenin merkezi nasıl bulunur? (Kürenin merkezi, uzaydaki iki geometrik noktanın kesişme noktasıdır. Birincisi, piramidin taban düzlemine, etrafını çevreleyen bir dairenin merkezinden çizilen bir diktir. İkincisi bir düzlemdir. belirli bir yan kenara dik ve ortasından çizilen)

7. Tabanında yamuk bulunan bir prizmanın etrafındaki küreyi hangi koşullar altında tanımlayabilirsiniz? (Etrafında bir daire tanımlanabilmesi için öncelikle prizmanın düz olması, ikinci olarak yamuğun ikizkenar olması gerekir)

8. Bir prizmanın çevresinde bir kürenin tanımlanabilmesi için hangi koşulları sağlaması gerekir? (Prizma düz olmalı ve tabanı, çevresinde bir dairenin tanımlanabileceği bir çokgen olmalıdır)

9. Merkezi prizmanın dışında bulunan üçgen prizmanın etrafında bir küre tanımlanmaktadır. Prizmanın tabanı hangi üçgendir? (Geniş üçgen)

10. Eğik bir prizmanın etrafındaki küreyi tanımlamak mümkün müdür? (Hayır, yapamazsınız)

11. Bir dik üçgen prizma etrafında çevrelenen bir kürenin merkezi hangi koşullar altında prizmanın yan yüzlerinden birinde yer alır? (Taban bir dik üçgendir)

12. Piramidin tabanı ikizkenar bir yamuktur. Piramidin tepesinin taban düzlemine dik izdüşümü yamuğun dışında bulunan bir noktadır. Böyle bir yamuğun etrafındaki bir küreyi tanımlamak mümkün müdür? (Evet, yapabilirsiniz. Piramidin tepesinin dik çıkıntısının tabanının dışında yer alması önemli değil. Piramidin tabanında bir ikizkenar yamuk - çevresinde bir dairenin olabileceği bir çokgen bulunması önemlidir. açıklanan)

13. Düzenli bir piramidin yakınında bir küre tanımlanmaktadır. Merkezi piramidin elemanlarına göre nasıl konumlandırılmıştır? (Kürenin merkezi, taban düzlemine merkezinden geçen dik bir çizgi üzerindedir)

14. Dik üçgen prizma etrafında tanımlanan kürenin merkezi hangi koşullar altında bulunur: a) prizmanın içinde; b) prizmanın dışında mı? (Prizmanın tabanında: a) dar bir üçgen; b) geniş üçgen)

15. Kenarları 1 dm, 2 dm ve 2 dm olan dikdörtgen bir paralelyüzün etrafında bir küre tanımlanmaktadır. Kürenin yarıçapını hesaplayın. (1,5 dm)

16. Bir küre hangi kesik koniye sığabilir? (Eksenel bölümüne daire yazılabilen kesik bir konide. Koninin eksenel bölümü ikizkenar yamuktur, tabanlarının toplamı yan kenarlarının toplamına eşit olmalıdır. Başka bir deyişle, koninin tabanlarının yarıçaplarının toplamı jeneratöre eşit olmalıdır)

17. Kesik bir koninin içine bir küre yazılmıştır. Koninin generatrisi kürenin merkezinden hangi açıda görülebilir? (90 derece)

18. Düz bir prizmanın içine bir küre sığabilmesi için hangi özelliğe sahip olması gerekir? (Birincisi, düz bir prizmanın tabanında içine bir dairenin yazılabileceği bir çokgen bulunmalıdır ve ikinci olarak prizmanın yüksekliği tabana yazılan dairenin çapına eşit olmalıdır)

19. Küreye sığmayan piramit örneği verir misiniz? (Örneğin, tabanında bir dikdörtgen veya paralelkenar bulunan dörtgen bir piramit)

20. Düz bir prizmanın tabanında bir eşkenar dörtgen vardır. Bu prizmaya bir küre sığdırmak mümkün mü? (Hayır, bu imkansızdır, çünkü genel olarak bir eşkenar dörtgen etrafındaki daireyi tanımlamak imkansızdır)

21. Bir küre hangi koşullar altında dik üçgen prizmanın içine yazılabilir? (Prizmanın yüksekliği tabanda yazılı dairenin yarıçapının iki katı ise)

22. Hangi koşullar altında düzgün dörtgen şeklinde kesik bir piramitin içine bir küre yazılabilir? (Belirli bir piramidin kesiti, tabanın kendisine dik tarafının ortasından geçen bir düzlem ise, içine bir dairenin yazılabileceği ikizkenar yamuktur)

23. Üçgen şeklinde kesik bir piramidin içine bir küre yazılmıştır. Piramidin hangi noktası kürenin merkezidir? (Bu piramidin içine yazılan kürenin merkezi, piramidin yan yüzlerinin oluşturduğu iki taraflı üç açı düzleminin tabanla kesiştiği noktadadır)

24. Bir silindirin etrafındaki küreyi (sağdaki dairesel) tanımlamak mümkün müdür? (Evet, yapabilirsin)

25. Bir koninin etrafındaki bir küreyi, kesik bir koniyi (düz dairesel) tanımlamak mümkün müdür? (Evet, her iki durumda da yapabilirsiniz)

26. Herhangi bir silindirin içine küre yazılabilir mi? Bir silindirin içine bir küre sığabilmesi için hangi özelliklere sahip olması gerekir? (Hayır, her zaman değil: silindirin eksenel bölümü kare olmalıdır)

27. Herhangi bir koninin içine küre yazılabilir mi? Bir koninin içine yazılan bir kürenin merkezinin konumu nasıl belirlenir? (Evet, kesinlikle. Yazılı kürenin merkezi, koninin yüksekliği ile generatrisin taban düzlemine eğim açısının açıortayının kesiştiği noktadadır)

Yazar, "Çokyüzlü, silindir, koni ve topla ilgili farklı problemler" konulu üç planlama dersinden iki dersin bir topu diğer cisimlerle birleştirme problemlerini çözmeye ayırmanın tavsiye edildiğine inanıyor. Derste sürenin yetersiz olması nedeniyle yukarıda verilen teoremlerin ispatlanması önerilmez. Bunun için yeterli beceriye sahip öğrencileri, ispatın dersini veya planını belirterek (öğretmenin takdirine bağlı olarak) ispat etmeye davet edebilirsiniz.