Pabarazitë logaritmike

Në mësimet e mëparshme, ne u njohëm me ekuacionet logaritmike dhe tani e dimë se cilat janë dhe si t'i zgjidhim ato. Mësimi i sotëm do t'i kushtohet studimit të pabarazive logaritmike. Cilat janë këto pabarazi dhe cili është ndryshimi midis zgjidhjes së një ekuacioni logaritmik dhe një pabarazie?

Pabarazitë logaritmike janë pabarazi që kanë një ndryshore që shfaqet nën shenjën e logaritmit ose në bazën e saj.

Ose, mund të themi gjithashtu se një pabarazi logaritmike është një pabarazi në të cilën vlera e panjohur e saj, si në një ekuacion logaritmik, do të shfaqet nën shenjën e logaritmit.

Pabarazitë logaritmike më të thjeshta kanë formën e mëposhtme:

ku f(x) dhe g(x) janë disa shprehje që varen nga x.

Le ta shohim këtë duke përdorur këtë shembull: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Zgjidhja e pabarazive logaritmike

Para zgjidhjes së pabarazive logaritmike, vlen të përmendet se kur zgjidhen ato janë të ngjashme me pabarazitë eksponenciale, përkatësisht:

Së pari, kur kalojmë nga logaritmet te shprehjet nën shenjën e logaritmit, duhet të krahasojmë edhe bazën e logaritmit me një;

Së dyti, kur zgjidhim një pabarazi logaritmike duke përdorur një ndryshim të ndryshoreve, ne duhet të zgjidhim pabarazitë në lidhje me ndryshimin derisa të marrim pabarazinë më të thjeshtë.

Por ju dhe unë kemi shqyrtuar aspekte të ngjashme të zgjidhjes së pabarazive logaritmike. Tani le t'i kushtojmë vëmendje një ndryshimi mjaft domethënës. Ju dhe unë e dimë që funksioni logaritmik ka një fushë të kufizuar përkufizimi, prandaj, kur kalojmë nga logaritmet në shprehjet nën shenjën e logaritmit, duhet të marrim parasysh gamën e vlerave të lejueshme (ADV).

Kjo do të thotë, duhet të merret parasysh se kur zgjidhim një ekuacion logaritmik, ju dhe unë së pari mund të gjejmë rrënjët e ekuacionit, dhe më pas të kontrollojmë këtë zgjidhje. Por zgjidhja e një pabarazie logaritmike nuk do të funksionojë në këtë mënyrë, pasi kalimi nga logaritmet në shprehje nën shenjën e logaritmit, do të jetë e nevojshme të shkruhet ODZ e pabarazisë.

Për më tepër, vlen të kujtohet se teoria e pabarazive përbëhet nga numra realë, të cilët janë numra pozitivë dhe negativë, si dhe nga numri 0.

Për shembull, kur numri "a" është pozitiv, atëherë duhet të përdorni shënimin e mëposhtëm: a >0. Në këtë rast, edhe shuma dhe prodhimi i këtyre numrave do të jenë gjithashtu pozitive.

Parimi kryesor për zgjidhjen e një pabarazie është zëvendësimi i tij me një pabarazi më të thjeshtë, por kryesorja është që ajo të jetë ekuivalente me atë të dhënë. Më tej, ne morëm edhe një pabarazi dhe e zëvendësuam përsëri me një që ka një formë më të thjeshtë, etj.

Kur zgjidhni pabarazitë me një ndryshore, duhet të gjeni të gjitha zgjidhjet e saj. Nëse dy pabarazi kanë të njëjtën ndryshore x, atëherë pabarazitë e tilla janë ekuivalente, me kusht që zgjidhjet e tyre të përkojnë.

Kur kryeni detyra për zgjidhjen e pabarazive logaritmike, duhet të mbani mend se kur a > 1, atëherë funksioni logaritmik rritet, dhe kur 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Metodat për zgjidhjen e pabarazive logaritmike

Tani le të shohim disa nga metodat që ndodhin gjatë zgjidhjes së pabarazive logaritmike. Për t'i kuptuar dhe asimiluar më mirë, do të përpiqemi t'i kuptojmë ato duke përdorur shembuj specifikë.

Të gjithë e dimë se pabarazia më e thjeshtë logaritmike ka formën e mëposhtme:

Në këtë pabarazi, V - është një nga shenjat e mëposhtme të pabarazisë:<,>, ≤ ose ≥.

Kur baza e një logaritmi të caktuar është më e madhe se një (a>1), duke bërë kalimin nga logaritmet në shprehjet nën shenjën e logaritmit, atëherë në këtë version ruhet shenja e pabarazisë dhe pabarazia do të ketë formën e mëposhtme:

e cila është e barabartë me këtë sistem:

Në rastin kur baza e logaritmit është më e madhe se zero dhe më e vogël se një (0

Kjo është e barabartë me këtë sistem:

Le të shohim më shumë shembuj të zgjidhjes së pabarazive logaritmike më të thjeshta të paraqitura në foton më poshtë:

Zgjidhja e shembujve

Ushtrimi. Le të përpiqemi të zgjidhim këtë pabarazi:

Zgjidhja e diapazonit të vlerave të pranueshme.

Tani le të përpiqemi të shumëzojmë anën e djathtë me:

Le të shohim se çfarë mund të dalim me:

Tani, le të kalojmë në konvertimin e shprehjeve nënloggaritmike. Për faktin se baza e logaritmit është 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

Dhe nga kjo rezulton se intervali që kemi marrë i përket tërësisht ODZ dhe është një zgjidhje për një pabarazi të tillë.

Kjo është përgjigja që morëm:

Çfarë nevojitet për të zgjidhur pabarazitë logaritmike?

Tani le të përpiqemi të analizojmë se çfarë na nevojitet për të zgjidhur me sukses pabarazitë logaritmike?

Së pari, përqendroni të gjithë vëmendjen tuaj dhe përpiquni të mos bëni gabime kur kryeni transformimet që jepen në këtë pabarazi. Gjithashtu, duhet mbajtur mend se gjatë zgjidhjes së pabarazive të tilla, është e nevojshme të shmangni zgjerimet dhe tkurrjet e ODZ të pabarazisë, të cilat mund të çojnë në humbjen ose marrjen e zgjidhjeve të jashtme.

Së dyti, kur zgjidhni pabarazitë logaritmike, duhet të mësoni të mendoni logjikisht dhe të kuptoni ndryshimin midis koncepteve të tilla si një sistem pabarazish dhe një grup pabarazish, në mënyrë që të zgjidhni lehtësisht zgjidhjet e pabarazisë, duke u udhëhequr nga DL e tij.

Së treti, për të zgjidhur me sukses pabarazi të tilla, secili prej jush duhet të njohë në mënyrë të përsosur të gjitha vetitë e funksioneve elementare dhe të kuptojë qartë kuptimin e tyre. Funksione të tilla përfshijnë jo vetëm logaritmike, por edhe racionale, fuqi, trigonometrike, etj., Me një fjalë, të gjitha ato që keni studiuar gjatë algjebrës së shkollës.

Siç mund ta shihni, pasi keni studiuar temën e pabarazive logaritmike, nuk ka asgjë të vështirë në zgjidhjen e këtyre pabarazive, me kusht që të jeni të kujdesshëm dhe këmbëngulës në arritjen e qëllimeve tuaja. Për të shmangur ndonjë problem në zgjidhjen e pabarazive, duhet të praktikoni sa më shumë që të jetë e mundur, duke zgjidhur detyra të ndryshme dhe në të njëjtën kohë të mbani mend metodat themelore të zgjidhjes së pabarazive të tilla dhe sistemet e tyre. Nëse nuk arrini të zgjidhni pabarazitë logaritmike, duhet t'i analizoni me kujdes gabimet tuaja në mënyrë që të mos ktheheni përsëri në to në të ardhmen.

Detyre shtepie

Për të kuptuar më mirë temën dhe për të konsoliduar materialin e trajtuar, zgjidhni pabarazitë e mëposhtme:

Ndër të gjithë shumëllojshmërinë e pabarazive logaritmike, pabarazitë me një bazë të ndryshueshme studiohen veçmas. Ato zgjidhen duke përdorur një formulë të veçantë, e cila për disa arsye mësohet rrallë në shkollë:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Në vend të kutisë së kontrollit "∨", mund të vendosni çdo shenjë pabarazie: pak a shumë. Gjëja kryesore është se në të dyja pabarazitë shenjat janë të njëjta.

Në këtë mënyrë shpëtojmë nga logaritmet dhe e reduktojmë problemin në një pabarazi racionale. Kjo e fundit është shumë më e lehtë për t'u zgjidhur, por kur hidhni logaritmet, mund të shfaqen rrënjë shtesë. Për t'i prerë ato, mjafton të gjesh gamën e vlerave të pranueshme. Nëse e keni harruar ODZ-në e logaritmit, unë rekomandoj fuqimisht ta përsërisni atë - shihni " Çfarë është një logaritëm ».

Çdo gjë që lidhet me gamën e vlerave të pranueshme duhet të shkruhet dhe zgjidhet veçmas:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Këto katër pabarazi përbëjnë një sistem dhe duhet të plotësohen njëkohësisht. Kur të gjendet diapazoni i vlerave të pranueshme, mbetet vetëm ta kryqëzojmë atë me zgjidhjen e pabarazisë racionale - dhe përgjigja është gati.

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

Së pari, le të shkruajmë ODZ-në e logaritmit:

Dy pabarazitë e para plotësohen automatikisht, por e fundit do të duhet të fshihet. Meqenëse katrori i një numri është zero nëse dhe vetëm nëse vetë numri është zero, kemi:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Rezulton se ODZ e logaritmit janë të gjithë numrat përveç zeros: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Tani zgjidhim pabarazinë kryesore:

Ne bëjmë kalimin nga pabarazia logaritmike në atë racionale. Pabarazia origjinale ka një shenjë "më pak se", që do të thotë se pabarazia që rezulton duhet të ketë gjithashtu një shenjë "më pak se". Ne kemi:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

Zerot e kësaj shprehjeje janë: x = 3; x = −3; x = 0. Për më tepër, x = 0 është një rrënjë e shumëzisë së dytë, që do të thotë se kur kaloni nëpër të, shenja e funksionit nuk ndryshon. Ne kemi:

Marrim x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ky grup përfshihet plotësisht në ODZ të logaritmit, që do të thotë se kjo është përgjigja.

Shndërrimi i pabarazive logaritmike

Shpesh pabarazia origjinale është e ndryshme nga ajo e mësipërme. Kjo mund të korrigjohet lehtësisht duke përdorur rregullat standarde për të punuar me logaritme - shih " Vetitë themelore të logaritmeve" Gjegjësisht:

1. Çdo numër mund të paraqitet si një logaritëm me një bazë të caktuar;
2. Shuma dhe diferenca e logaritmeve me baza të njëjta mund të zëvendësohet me një logaritëm.

Më vete, do të doja t'ju kujtoja për gamën e vlerave të pranueshme. Meqenëse mund të ketë disa logaritme në pabarazinë origjinale, kërkohet të gjendet VA e secilit prej tyre. Kështu, skema e përgjithshme për zgjidhjen e pabarazive logaritmike është si më poshtë:

1. Gjeni VA të çdo logaritmi të përfshirë në pabarazi;
2. Zvogëloni pabarazinë në një standard duke përdorur formulat për mbledhjen dhe zbritjen e logaritmeve;
3. Zgjidheni pabarazinë që rezulton duke përdorur skemën e dhënë më sipër.

Detyrë. Zgjidh pabarazinë:

Le të gjejmë domenin e përkufizimit (DO) të logaritmit të parë:

Ne zgjidhim duke përdorur metodën e intervalit. Gjetja e zerave të numëruesit:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Pastaj - zerot e emëruesit:

x − 1 = 0;
x = 1.

Ne shënojmë zero dhe shenja në shigjetën e koordinatave:

Marrim x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Logaritmi i dytë do të ketë të njëjtën VA. Nëse nuk e besoni, mund ta kontrolloni. Tani e transformojmë logaritmin e dytë në mënyrë që baza të jetë dy:

Siç mund ta shihni, treshe në bazë dhe përpara logaritmit janë zvogëluar. Ne morëm dy logaritme me të njëjtën bazë. Le t'i mbledhim ato:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Ne morëm pabarazinë logaritmike standarde. Ne heqim qafe logaritmet duke përdorur formulën. Meqenëse pabarazia origjinale përmban një shenjë "më pak se", shprehja racionale që rezulton duhet gjithashtu të jetë më e vogël se zero. Ne kemi:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2) (2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Ne morëm dy grupe:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Përgjigjja e kandidatit: x ∈ (−1; 3).

Mbetet të kryqëzojmë këto grupe - marrim përgjigjen e vërtetë:

Ne jemi të interesuar për kryqëzimin e grupeve, kështu që ne zgjedhim intervale që janë të hijezuara në të dy shigjetat. Marrim x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - të gjitha pikat janë shpuar.

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur dorëzoni një aplikim në sajt, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin tuaj, numrin e telefonit, adresën e emailit, etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme, si kryerja e auditimeve, analizave të të dhënave dhe kërkimeve të ndryshme, me qëllim që të përmirësojmë shërbimet që ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, në procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave publike ose kërkesave nga autoritetet qeveritare në territorin e Federatës Ruse - për të zbuluar informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Me ta janë brenda logaritmeve.

Shembuj:

\(\log_3⁡x≥\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡ ((x^2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_(x+1)⁡((x^2+3x-7))>2\)
\(\lg^2⁡((x+1))+10≤11 \lg⁡((x+1))\)

Si të zgjidhni pabarazitë logaritmike:

Ne duhet të përpiqemi të reduktojmë çdo pabarazi logaritmike në formën \(\log_a⁡(f(x)) ˅ \log_a(⁡g(x))\) (simboli \(˅\) do të thotë ndonjë prej ). Ky lloj ju lejon të heqni qafe logaritmet dhe bazat e tyre, duke bërë kalimin në pabarazinë e shprehjeve nën logaritme, domethënë në formën \(f(x) ˅ g(x)\).

Por kur bëni këtë tranzicion ka një hollësi shumë të rëndësishme:
\(-\) nëse është një numër dhe është më i madh se 1, shenja e pabarazisë mbetet e njëjtë gjatë tranzicionit,
\(-\) nëse baza është një numër më i madh se 0 por më i vogël se 1 (shtrihet ndërmjet zeros dhe njës), atëherë shenja e pabarazisë duhet të ndryshojë në të kundërtën, d.m.th.

Shume e rendesishme! Në çdo pabarazi, kalimi nga forma \(\log_a(⁡f(x)) ˅ \log_a⁡(g(x))\) në krahasimin e shprehjeve nën logaritme mund të bëhet vetëm nëse:

Shembull . Zgjidhja e pabarazisë: \(\log\)\(≤-1\)

Zgjidhja:

Shembull . Zgjidhe pabarazinë: \(\log^2_3⁡x-\log_3⁡x-2>0\)

Zgjidhja: